Mostre que para quaisquer
são válidas as propriedades:
se
e
então
.
se
Passo 1
O enunciado afirma que, para quaisquer
, se
então
O conteúdo chave é a ordem em
e a monotonicidade da multiplicação (e da adição) em
. Para provar, vamos usar a definição de “
” em
: dizer
significa que existe
tal que
.
Passo 2
Da hipótese
, existe
tal que
Multiplicando ambos os lados por
e usando distributividade, obtemos
Como
, segue que
Portanto
Passo 3
Da hipótese
, existe
tal que
Multiplicando ambos os lados por
e usando distributividade, segue
Como
, obtemos
Passo 4
Juntando as duas desigualdades conseguidas:
pelas propriedades transitiva de “
” em
concluímos
Resposta
Foi demonstrado que, sempre que
e
em
, vale