Mostre que para quaisquer a, b, c, d in N são válidas as propriedades:
se a <= b e c <= d então a c <= b d.

Passo 1

O enunciado afirma que, para quaisquer a,b,c,dinN, se
a<= b e c<= d
então
ac<= bd
O conteúdo chave é a ordem em N e a monotonicidade da multiplicação (e da adição) em N. Para provar, vamos usar a definição de “ <=” em N: dizer x<= y significa que existe kinN tal que y = x + k.

Passo 2

Da hipótese c<= d, existe kinN tal que
d = c + k
Multiplicando ambos os lados por binN e usando distributividade, obtemos
bd = b,(c + k) = b,c + b,k
Como b,kinN, segue que
b,c <= b,c + b,k = bd
Portanto
b,c <= bd

Passo 3

Da hipótese a<= b, existe minN tal que
b = a + m
Multiplicando ambos os lados por cinN e usando distributividade, segue
b,c = (a + m),c = a,c + m,c
Como m,cinN, obtemos
a,c <= a,c + m,c = b,c

Passo 4

Juntando as duas desigualdades conseguidas:
a,c <= b,c e b,c <= b,d,
pelas propriedades transitiva de “ <=” em N concluímos
a,c <= b,d

Resposta

Foi demonstrado que, sempre que a<= b e c<= d em N, vale
a,c <= b,d

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