Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y)=x^5+y^5-5 x-5 y.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=x^5+y^5-5x-5y e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar a condição nabla f=0 (derivadas parciais nulas) e a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=5x^4-5, fy(x,y)=5y^4-5
Em seguida igualamos cada uma a zero:
5x^4-5=0, 5y^4-5=0

Passo 3

Das equações acima segue
x^4=1Rightarrow x=pm1,
y^4=1Rightarrow y=pm1
Logo os quatro pontos críticos são
(1,1),;(1,-1),;(-1,1),;(-1,-1)

Passo 4

Para classificar usamos a matriz Hessiana de f. Como as segundas derivadas mistas são zero, basta olhar o sinal de fxx e fyy:
fxx(x,y)=20x^3, fyy(x,y)=20y^3, fxy(x,y)=0

Passo 5

Em cada ponto crítico avaliamos:
  • Em (1,1): fxx=20>0, fyy=20>0 Rightarrow Hessiana definida positiva Rightarrow mínimo local.
  • Em (-1,-1): fxx=-20<0, fyy=-20<0 Rightarrow Hessiana definida negativa Rightarrow máximo local.
  • Em (1,-1): fxx=20>0, fyy=-20<0 Rightarrow Hessiana indefinida Rightarrow ponto de sela.
  • Em (-1,1): fxx=-20<0, fyy=20>0 Rightarrow Hessiana indefinida Rightarrow ponto de sela.

Resposta

Mínimo local em (1,1).
Máximo local em (-1,-1).
Pontos de sela em (1,-1) e (-1,1).

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