Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar a condição
(derivadas parciais nulas) e a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos calculamos as derivadas parciais de
:
Em seguida igualamos cada uma a zero:
Passo 3
Das equações acima segue
Logo os quatro pontos críticos são
Passo 4
Para classificar usamos a matriz Hessiana de
. Como as segundas derivadas mistas são zero, basta olhar o sinal de
e
:
Passo 5
Em cada ponto crítico avaliamos:
- Em
: , Hessiana definida positiva mínimo local. - Em
: , Hessiana definida negativa máximo local. - Em
: , Hessiana indefinida ponto de sela. - Em
: , Hessiana indefinida ponto de sela.
Resposta
Mínimo local em
.
Máximo local em .
Pontos de sela em e
.
Máximo local em
Pontos de sela em