Seja f(x)=-x^2+2 x, 0 <= x <= 2.
b) Determine a representação de f por uma série de cossenos (Série de Fourier em cossenos).
Fórmulas:
l integral0^L x sen n pi xL d x=-L^2n pi cos n pi e integral0^L x^2 sen n pi xL d x=-L^3n pi cos n pi+2 L^3n^3 pi^3(cos n pi-1) integral0^L x cos n pi xL d x=L^2n^2 pi^2(cos n pi-1) e integral0^L x^2 cos n pi xL d x=2 L^3n^2 pi^2 cos n pi

Passo 1

Beleza, então a gente tem o exercício onde precisamos representar a função f(x) = -x^2 + 2x no intervalo de 0 a 2 usando uma série de cossenos, ou seja, uma Série de Fourier em cossenos. Basicamente, vamos decompor essa função em uma soma infinita de funções cosseno para facilitar análises e cálculos posteriores. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes dessa série, que são essenciais para construir a representação final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é formada uma Série de Fourier em cossenos. A expressão geral dessa série é:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi xL)
Aqui, L é o comprimento do intervalo, que no nosso caso é 2 . Os coeficientes a0 e an são calculados por:
a0 = 2L integral0^L f(x) , dx
an = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) dx
Então, vamos calcular a0 primeiro.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 :
a0 = 22 integral0^2 (-x^2 + 2x) , dx = integral0^2 (-x^2 + 2x) , dx
Integrando termo a termo:
integral0^2 -x^2 , dx = -[ x^33 ]0^2 = -( 83 - 0 ) = -83
integral0^2 2x , dx = 2 [ x^22 ]0^2 = 2 ( 2 - 0 ) = 4
Somando os resultados:
a0 = -83 + 4 = 43

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an :
an = 22 integral0^2 (-x^2 + 2x) cos(npi x2) dx = integral0^2 (-x^2 + 2x) cos(npi x2) dx
Vamos dividir a integral em duas partes:
an = -integral0^2 x^2 cos(npi x2) dx + 2 integral0^2 x cos(npi x2) dx
Usando as fórmulas fornecidas no enunciado:
integral0^L x^2 cos(npi xL) dx = 2 L^3n^2 pi^2 cos(npi)
integral0^L x cos(npi xL) dx = L^2n^2 pi^2 (cos(npi) - 1)
Substituindo L = 2 :
integral0^2 x^2 cos(npi x2) dx = 2 cdot 8n^2 pi^2 cos(npi) = 16n^2 pi^2 cos(npi)
integral0^2 x cos(npi x2) dx = 4n^2 pi^2 (cos(npi) - 1)
Agora, substituindo de volta em an :
an = -16n^2 pi^2 cos(npi) + 2 cdot 4n^2 pi^2 (cos(npi) - 1) = -16n^2 pi^2 cos(npi) + 8n^2 pi^2 cos(npi) - 8n^2 pi^2
Simplificando:
an = (-16n^2 pi^2 + 8n^2 pi^2) cos(npi) - 8n^2 pi^2 = -8n^2 pi^2 cos(npi) - 8n^2 pi^2
an = -8n^2 pi^2 (cos(npi) + 1)
Agora, lembrando que cos(npi) = (-1)^n , podemos reescrever:
an = -8n^2 pi^2 ( (-1)^n + 1 )

Resposta

A representação da função f(x) = -x^2 + 2x no intervalo de 0 a 2 pela Série de Fourier em cossenos é:
f(x) = 23 + sumn=1^infty ( -8n^2 pi^2 ( (-1)^n + 1 ) ) cos(npi x2)

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