Seja
.
b) Determine a representação de
por uma série de cossenos (Série de Fourier em cossenos).
Fórmulas:
b) Determine a representação de
Fórmulas:
Passo 1
Beleza, então a gente tem o exercício onde precisamos representar a função
no intervalo de
a
usando uma série de cossenos, ou seja, uma Série de Fourier em cossenos. Basicamente, vamos decompor essa função em uma soma infinita de funções cosseno para facilitar análises e cálculos posteriores. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes dessa série, que são essenciais para construir a representação final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é formada uma Série de Fourier em cossenos. A expressão geral dessa série é:
Aqui,
é o comprimento do intervalo, que no nosso caso é
. Os coeficientes
e
são calculados por:
Então, vamos calcular
primeiro.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
:
Integrando termo a termo:
Somando os resultados:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Vamos dividir a integral em duas partes:
Usando as fórmulas fornecidas no enunciado:
Substituindo
:
Agora, substituindo de volta em
:
Simplificando:
Agora, lembrando que
, podemos reescrever:
Resposta
A representação da função
no intervalo de
a
pela Série de Fourier em cossenos é: