- O que é um problema de valor de contorno? Como ele difere de um problema de valor inicial?
Passo 1
O enunciado pergunta o que é um problema de valor de contorno (PVC) e em que ele difere de um problema de valor inicial (PVI). Para entender isso, vamos falar brevemente sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e os tipos de condições que podemos impor para obter uma solução única.
Passo 2
Uma equação diferencial ordinária genérica de ordem
pode ser escrita como
Para que essa EDO tenha solução única precisamos fornecer
condições adicionais. A forma de especificar essas condições é o que distingue PVI de PVC.
Passo 3
Num problema de valor inicial (PVI), todas as condições são dadas num mesmo ponto
. Por exemplo, para uma EDO de segunda ordem
um PVI típico fornece
Isso “inicia” a solução no ponto
e usamos métodos (analíticos ou numéricos) que avançam a partir desse ponto.
Passo 4
Num problema de valor de contorno (PVC), as condições são dadas em pontos distintos do domínio. Ainda na segunda ordem podemos ter, por exemplo,
ou até condições mistas como
Aqui a solução deve satisfazer o comportamento em duas (ou mais) fronteiras do intervalo, em vez de “começar” em um único ponto.
Passo 5
As diferenças principais entre PVI e PVC são:
- Localização das condições: no PVI todas em
; no PVC espalhadas em extremos ou fronteiras. - Métodos numéricos: PVI usa integradores de passo único (Runge–Kutta, por ex.); PVC costuma usar métodos de tiro (“shooting”), diferenças finitas ou elementos finitos.
- Existência e unicidade: PVI costuma ter teoremas clássicos (Picard–Lindel"of) que garantem solução local/global; PVC pode exigir análise de autovalores ou condições de compatibilidade para garantir solução única.
Resposta
Um problema de valor de contorno é uma EDO em que as condições (valores de
e/ou de derivadas) são especificadas em dois ou mais pontos distintos do domínio. Em contraste, num problema de valor inicial todas as condições são dadas num único ponto, o que “inicia” a integração da solução a partir daí.