Esboce o gráfico da função:
f(x)=|1x+1|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=|1x+1|
O conteúdo é análise de funções racionais com valor absoluto: vamos determinar domínio, assíntotas e comportamento em cada intervalo para depois desenhar os ramos da hipérbole.

Passo 2

Determinamos o domínio e as assíntotas.
1. Domínio: não pode zerar o denominador, logo
x+1 neq 0 Longrightarrow x neq -1
2. Assíntota vertical em x=-1.
3. Como limxtopminfty1|x+1|=0, temos assíntota horizontal em y=0.

Passo 3

Analisamos o sinal em cada intervalo e simplificamos:
  • Se x>-1, então x+1>0 e
f(x)=1x+1
  • Se x<-1, então x+1<0 e
f(x)=1|x+1|=-1x+1
Em ambos os casos f(x)>0, ou seja, o gráfico fica sempre acima do eixo x.

Passo 4

Estudamos o comportamento típico de cada ramo:
  • Para x>-1:
    bul<=t Quando xto-1^+, f(x)to+infty.
    bul<=t Em x=0, f(0)=1/(0+1)=1.
    bul<=t Quando xto+infty, f(x)to0^+.
    Isso forma um ramo de hipérbole decrescente que passa por (0,1), aproxima-se de x=-1 verticalmente e de y=0 horizontalmente.
  • Para x<-1:
    bul<=t Quando xto-1^-, f(x)to+infty.
    bul<=t Em x=-2, f(-2)=1/|-2+1|=1.
    bul<=t Quando xto-infty, f(x)to0^+.
    Isso forma outro ramo de hipérbole decrescente (à esquerda), passando por (-2,1) e com as mesmas assíntotas.

Resposta

O gráfico de f(x)=l|1/(x+1)r| consiste em dois ramos de hipérbole no semiplano y>0, com:
– Assíntota vertical x=-1.
– Assíntota horizontal y=0.
– Um ramo para x>-1, decrescente de +infty em xto -1^+ até 0 em xto+infty, passando por (0,1).
– Outro ramo simétrico para x<-1, também decrescente de +infty em xto -1^- até 0 em xto-infty, passando por (-2,1).

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