Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado.
x=2 sin t, y=4+cos t, 0 <= t <= 3 pi

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas da posição de uma partícula:
x = 2sin t, y = 4 + cos t, 0 <= t <= 3pi
O que precisamos é:
  1. Identificar a curva descrita (isto é, o lugar geométrico);
  2. Determinar o ponto inicial ( t=0) e o ponto final ( t=3pi);
  3. Calcular quantas voltas completas a partícula dá;
  4. Verificar o sentido de percor-rido (horário ou anti-horário).

Passo 2

Eliminamos t para achar o lugar geométrico. Como
sin t = x2 e cos t = y - 4,
temos
sin^2 t + cos^2 t = 1 ;Longrightarrow; l(x2r)^2 + (y-4)^2 = 1
Isto é a equação de uma elipse centrada em (0,4) com semi-eixo horizontal 2 e semi-eixo vertical 1.

Passo 3

Em t=0:
x(0)=2sin0=0, y(0)=4+cos0=5,
logo o ponto inicial é (0,5), topo da elipse.
O período da parametrização é T=2pi, então em t=3pi a partícula faz
3pi2pi = 1,5
voltas completas. Em t=3pi:
x(3pi)=2sin(3pi)=0, y(3pi)=4+cos(3pi)=3,
que é o ponto (0,3), o fundo da elipse.

Passo 4

Para saber o sentido de percurso, calculamos as derivadas:
dxdt = 2cos t, dydt = -sin t
Em t=0 temos dxdt(0)=2>0 e dydt(0)=0, ou seja, a partícula parte do topo (0,5) movendo-se para a direita e em seguida para baixo. Isso mostra que o movimento é no sentido horário ao redor da elipse.

Resposta

A partícula descreve uma elipse centrada em (0,4) com semi-eixos 2 (horizontal) e 1 (vertical), começando em (0,5), percorrendo a elipse no sentido horário e completando uma volta e meia (1,5 voltas) quando t vai de 0 a 3pi, terminando em (0,3).

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