Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
e pede para eliminar o parâmetro, obter a equação cartesiana, esboçar a curva e indicar a direção de traçado quando
aumenta. O conteúdo principal é usar identidades de funções hiperbólicas para identificar um hipérbole.
Passo 2
Usamos a identidade fundamental das funções hiperbólicas:
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Como
satisfaz
para todo
, a parte da curva descrita é o ramo superior do hipérbole. Assim o domínio cartesiano fica
Passo 4
A curva é o ramo superior do hipérbole
. Para ver a orientação, note que:
- Quando
, temos . - Em
, . - Quando
, .
Portanto, no esboço marcamos uma seta que começa no ponto “infinito à esquerda e alto”, desce até
e depois sobe até o “infinito à direita e alto”, acompanhando o aumento de
.
Resposta
Ramo superior do hipérbole, orientado de
em
, passando por
em
, até
em
.