Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=sinh t, y=cosh t

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
x = sinh t, y = cosh t
e pede para eliminar o parâmetro, obter a equação cartesiana, esboçar a curva e indicar a direção de traçado quando t aumenta. O conteúdo principal é usar identidades de funções hiperbólicas para identificar um hipérbole.

Passo 2

Usamos a identidade fundamental das funções hiperbólicas:
cosh^2 t - sinh^2 t = 1
Substituindo x=sinh t e y=cosh t obtemos
y^2 - x^2 = 1

Passo 3

Como y=cosh t satisfaz cosh t>=1 para todo tinR, a parte da curva descrita é o ramo superior do hipérbole. Assim o domínio cartesiano fica
y^2 - x^2 = 1, y>=1

Passo 4

A curva é o ramo superior do hipérbole y^2 - x^2 = 1. Para ver a orientação, note que:
  • Quando tto -infty, temos (x,y)to(-infty,infty).
  • Em t=0, (x,y)=(0,1).
  • Quando ttoinfty, (x,y)to(infty,infty).
Portanto, no esboço marcamos uma seta que começa no ponto “infinito à esquerda e alto”, desce até (0,1) e depois sobe até o “infinito à direita e alto”, acompanhando o aumento de t.

Resposta

y^2 - x^2 = 1, y>=1
Ramo superior do hipérbole, orientado de ,(-infty,infty) em tto -infty, passando por (0,1) em t=0, até (infty,infty) em ttoinfty.

Exercícios relacionados