Sobre uma função diferenciável f(x, y), sabe-se que
Du f(1,2)=3 a^3-4 b+3 a b^2
para todo vetor unitário u=(a, b). Determine:
(1, 0) vetores unitários u1 e u2 para os quais a derivada direcional é nula.

Passo 1

O enunciado afirma que para toda direção unitária vec u=(a,b) temos
Dvec uf(1,2)=3a^3-4b+3ab^2
Queremos achar as direções unitárias vec u1 e vec u2 tais que Dvec uf(1,2)=0. O conteúdo que vamos usar inclui simplificar a expressão usando a^2+b^2=1, identificar o gradiente e resolver o sistema usinado a condição de anulação da derivada direcional.

Passo 2

Como vec u é unitário, vale
a^2+b^2=1
Note que
3a^3+3ab^2=3a,(a^2+b^2)=3acdot1=3a
Logo a expressão dada simplifica para
Dvec uf(1,2)=3a-4b

Passo 3

Sabemos que
Dvec uf(1,2)=nabla f(1,2)cdotvec u =fx(1,2),a+fy(1,2),b
Comparando com 3a-4b, obtemos
fx(1,2)=3, fy(1,2)=-4

Passo 4

Queremos Dvec uf(1,2)=0, ou seja
3a-4b=0 Longrightarrow b=34a

Passo 5

Substituindo b=tfrac34a em a^2+b^2=1:
a^2+l(tfrac34ar)^2=1 Longrightarrow a^2l(1+tfrac916r)=1 Longrightarrow a^2=1625
Assim a=pm45 e b=pm35, com o mesmo sinal de a.

Resposta

u1=l(tfrac45,tfrac35r), u2=l(-tfrac45,-tfrac35r)

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