Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado dá as parametrizações
O conteúdo aqui é usar a identidade trigonométrica
para eliminar
e obter uma equação em
e
.
Passo 2
Aplicando
, temos
Substituindo
e
, chega-se a
Passo 3
Devemos observar as restrições: como
, tem-se
, então
. Logo a curva cartesiana é o ramo da parábola
Passo 4
Para saber a direção de percurso, analisamos extremos de
:
Ou seja, quando
aumenta de
a
, o ponto desce desde o “infinito” até
, e de
a
ele sobe de volta ao infinito.
Passo 5
Esboço aproximado (o marca
; a seta mostra a direção de
crescente):
y
\uparrow
| *
| * \leftarrow \(\theta\) crescente
| *
| *
\(1\) o
\hline + \rightarrow x
\[0\]
Resposta
A equação cartesiana é
e a curva é o ramo da parábola acima de
, traçada do “infinito” até
e retornando ao “infinito” conforme
aumenta.