Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=tan ^2 theta, y=sec theta, -pi2<theta<pi2

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x = tan^2theta, y = sectheta, -tfracpi2<theta<tfracpi2
O conteúdo aqui é usar a identidade trigonométrica sec^2theta = 1 + tan^2theta para eliminar theta e obter uma equação em x e y.

Passo 2

Aplicando sec^2theta = 1 + tan^2theta, temos
tan^2theta = sec^2theta - 1
Substituindo tan^2theta = x e sectheta = y, chega-se a
x = y^2 - 1

Passo 3

Devemos observar as restrições: como -tfracpi2<theta<tfracpi2, tem-se costheta>0, então sectheta=y>=1. Logo a curva cartesiana é o ramo da parábola
x = y^2-1, y>=1

Passo 4

Para saber a direção de percurso, analisamos extremos de theta:
limthetato -tfracpi2^+(tan^2theta,sectheta)=(infty,infty), theta=0mapsto(x,y)=(0,1), limthetato tfracpi2^-(tan^2theta,sectheta)=(infty,infty)
Ou seja, quando theta aumenta de -tfracpi2 a 0, o ponto desce desde o “infinito” até (0,1), e de 0 a tfracpi2 ele sobe de volta ao infinito.

Passo 5

Esboço aproximado (o marca ; a seta mostra a direção de crescente):
      y
      \uparrow
      |        *
      |       *   \leftarrow \(\theta\) crescente
      |      *
      |     *
    \(1\) o 
\hline + \rightarrow x
\[0\]

Resposta

A equação cartesiana é
x = y^2 - 1, y>=1,
e a curva é o ramo da parábola acima de y=1, traçada do “infinito” até (0,1) e retornando ao “infinito” conforme theta aumenta.

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