Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva e desenhe o seu gráfico.
x=e^t, y=t+1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=e^t, y=t+1
e pede (1) eliminar o parâmetro t para obter a equação cartesiana e (2) desenhar o gráfico. O conteúdo é transformação de curva paramétrica em forma explícita e análise de gráfico de função logarítmica.

Passo 2

Para eliminar t, observamos que
x = e^t
implica
t = ln(x),
definido para x>0. Substituindo em y=t+1, obtemos
y = ln(x) + 1,
com domínio x>0.

Passo 3

Agora vamos esboçar o gráfico de
y = ln(x) + 1, x>0
  1. Quando xto0^+, ln(x)to-infty, logo a curva desce indefinidamente, com assíntota vertical em x=0.
  2. Quando x=1, temos y=ln(1)+1=1, então o ponto (1,1) pertence à curva.
  3. Quando x=e, temos y=ln(e)+1=2, ponto (e,2).
  4. A derivada
y' = 1x
é sempre positiva em x>0, então a curva é estritamente crescente. Como y''=-1/x^2<0, ela é côncava para baixo.
O esboço é a típica curva logarítmica deslocada uma unidade para cima, conforme esses pontos e características.

Resposta

y = ln(x) + 1, x > 0

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