Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado nos dá a posição de uma partícula no plano por meio de uma curva paramétrica
para
. O conteúdo aqui é estudo de curvas paramétricas: primeiro vamos eliminar o parâmetro para achar a forma cartesiana (geometria da curva) e depois analisar como a partícula se desloca ao longo desse traçado (orientação e periodicidade).
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
. Como
, obtemos
Logo a curva é parte da parábola de equação
com
variando entre
e
.
Passo 3
Verificamos o intervalo de
e o correspondente em
:
para todo ,
e
.
Os pontos extremos do segmento de parábola são
para todo
Os pontos extremos do segmento de parábola são
Passo 4
Analisamos a periodicidade:
tem período
, e
tem período
. A combinação
repete-se a cada
. No intervalo
há duas revoluções completas da partícula sobre a mesma parábola.
Passo 5
Descrevendo a orientação num período típico
:
no instante a partícula está em
.
Para ela desce pelo ramo direito da parábola até
em
.
Entre ela retorna subindo ao vértice
em
.
De desce pelo ramo esquerdo até
em
.
Finalmente, para ela sobe de novo ao vértice
em
.
Esse ciclo se repete igualmente para de
a
.
no instante
Para
Entre
De
Finalmente, para
Esse ciclo se repete igualmente para
Resposta
A partícula move-se sobre o segmento da parábola
oscila periodicamente (período
) passando do vértice
ao pé direito
, volta ao vértice, vai ao pé esquerdo
e retorna ao vértice. No intervalo dado ocorrem duas voltas completas.