Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado.
x=sen t, y=cos ^2 t, -2 pi <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula no plano por meio de uma curva paramétrica
x(t)=sin t, y(t)=cos^2 t,
para -2pi<= t<=2pi. O conteúdo aqui é estudo de curvas paramétricas: primeiro vamos eliminar o parâmetro para achar a forma cartesiana (geometria da curva) e depois analisar como a partícula se desloca ao longo desse traçado (orientação e periodicidade).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica cos^2t=1-sin^2t. Como x=sin t, obtemos
y=cos^2t = 1-sin^2t = 1 - x^2
Logo a curva é parte da parábola de equação
y = 1 - x^2,
com x variando entre -1 e 1.

Passo 3

Verificamos o intervalo de t e o correspondente em (x,y):
para todo t, sin tin[-1,1] e cos^2tin[0,1].
Os pontos extremos do segmento de parábola são
(-1,0), (1,0)e o vértice;(0,1) é

Passo 4

Analisamos a periodicidade: x(t)=sin t tem período 2pi, e y(t)=cos^2t tem período pi. A combinação (sin t,cos^2t) repete-se a cada 2pi. No intervalo [-2pi,2pi] há duas revoluções completas da partícula sobre a mesma parábola.

Passo 5

Descrevendo a orientação num período típico 0<= t<=2pi:
no instante t=0 a partícula está em (0,1).
Para 0<t<pi/2 ela desce pelo ramo direito da parábola até (1,0) em t=pi/2.
Entre pi/2< t<pi ela retorna subindo ao vértice (0,1) em t=pi.
De pi<t<3pi/2 desce pelo ramo esquerdo até (-1,0) em t=3pi/2.
Finalmente, para 3pi/2< t<2pi ela sobe de novo ao vértice (0,1) em t=2pi.
Esse ciclo se repete igualmente para t de -2pi a 0.

Resposta

A partícula move-se sobre o segmento da parábola
y = 1 - x^2, -1<= x<=1,
oscila periodicamente (período 2pi) passando do vértice (0,1) ao pé direito (1,0), volta ao vértice, vai ao pé esquerdo (-1,0) e retorna ao vértice. No intervalo dado ocorrem duas voltas completas.

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