Usando a serie de Maclaurin das funções e^x, e^-x^2, sin (x), cos (x), tan ^-1(x), ln (1+x) e(1+x)^-1 / 2, calcule os limites
lim x 0 sin (x)-xx^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0sin(x)-xx^3
usando séries de Maclaurin. O conteúdo aqui é a expansão em série de Maclaurin de sin(x) até a ordem x^3.

Passo 2

A série de Maclaurin de sin(x) em torno de x=0 é
sin(x)=x-x^33!+x^55!+cdots

Passo 3

Mantendo termos até x^3, temos
sin(x)=x-x^36+O(x^5)
Logo,
sin(x)-x=-x^36+O(x^5)

Passo 4

Dividindo por x^3,
sin(x)-xx^3 =-16+O(x^2)
Ao fazer xto0, o termo O(x^2) vai a zero, restando

Resposta

-16

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