Descreva o núcleo da transformação linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+z, y-z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3 to R^2 definida por
T(x,y,z) = (x+z,;y-z)
e pede o núcleo de T, ou seja, o conjunto de todos os vetores (x,y,z)inR^3 tais que T(x,y,z)=(0,0). Para resolver, vamos usar a definição de núcleo de uma transformação linear e resolver o sistema linear associado.

Passo 2

Escrevendo
Da primeira equação vem .

Passo 3

Para parametrizar a solução, seja t = z. Então
(x,y,z) = (-t,;t,;t) = t,(-1,1,1)
Logo, todo vetor do núcleo é múltiplo escalar de (-1,1,1).

Resposta

ker(T) = ,t(-1,1,1)mid tinR = span(-1,1,1)

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