Seja T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+z, y-z). Determine se (3,1) pertence à imagem de T.

Passo 1

O enunciado apresenta o operador linear
Tcolon R^3toR^2 definido por
T(x,y,z)=(x+z,;y-z),
e pergunta se o vetor (3,1)inR^2 pertence à imagem de T. Para isso, vamos precisar resolver o sistema linear que expressa a busca de (x,y,z) tal que T(x,y,z)=(3,1).

Passo 2

Precisamos resolver
x+z=3, y-z=1
Dessas equações vemos que z é um parâmetro livre. Em função de z temos
x=3-z, y=1+z
Como existe solução para todo zinR, concluímos que (3,1) está na imagem de T. Por exemplo, para z=0 obtemos o vetor pré-imagem (x,y,z)=(3,1,0) que de fato satisfaz T(3,1,0)=(3,1).

Resposta

Sim, (3,1) pertence à imagem de T (por exemplo, T(3,1,0)=(3,1)).

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