Determine o núcleo (ker(T)) e a imagem (Im(T)) da transformação T: R^2 R^3 com T(x, y)= (x+y, 2 x-y, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o núcleo (ker(T)) e a imagem (Im(T)) da transformação linear T: R^2 R^3 definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y, 0) . Ou seja, estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o núcleo e a imagem de uma transformação linear e como encontrá-los passo a passo.

Passo 2

Vamos começar determinando o núcleo de T, que é o conjunto de todos os vetores (x, y) em R^2 que são enviados para o vetor zero em R^3 . Matemáticamente, isso significa resolver a equação:
T(x, y) = (x + y, 2x - y, 0) = (0, 0, 0)

Passo 3

Para encontrar o núcleo, precisamos resolver o sistema de equações resultante da igualdade acima:
x + y = 0 2x - y = 0 0 = 0
A terceira equação, 0 = 0 , é sempre verdadeira e não nos dá informação adicional. Então, vamos focar nas duas primeiras equações.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação, x + y = 0 , podemos expressar y em termos de x :
y = -x
  1. Substituindo y = -x na segunda equação:
2x - (-x) = 0 Rightarrow 2x + x = 0 Rightarrow 3x = 0 Rightarrow x = 0
  1. Se x = 0 , então y = -0 = 0 .

Passo 5

Portanto, o único vetor que satisfaz T(x, y) = (0, 0, 0) é (0, 0) . Isso significa que o núcleo de T é:
ker(T) = (0, 0)

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem de T, que é o conjunto de todos os vetores em R^3 que podem ser obtidos aplicando T a vetores de R^2 . Em outras palavras, queremos encontrar todos os possíveis resultados de T(x, y) = (x + y, 2x - y, 0) .

Passo 7

Observando a transformação T(x, y) = (x + y, 2x - y, 0) , vemos que o terceiro componente é sempre zero. Isso significa que todos os vetores da imagem de T terão a forma (a, b, 0) , onde a e b são combinações lineares de x e y .

Passo 8

Podemos expressar a imagem como o conjunto gerado pelas colunas da matriz associada a T . A matriz de T é:
A = 1 & 1 2 & -1 0 & 0
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz:
Im(T) = span 1 2 0 , 1 -1 0

Passo 9

Como ambas as colunas têm o terceiro componente igual a zero, a imagem de T é um subespaço bidimensional no plano z = 0 em R^3 . Portanto, podemos descrever a imagem de T como:
Im(T) = (a, b, 0) mid a, b in R

Resposta

O núcleo de T é ker(T) = , (0, 0) , e a imagem de T é Im(T) = , (a, b, 0) mid a, b in R , .

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