Determine se o vetor (1,2,3) pertence à imagem da transformação T: R^2 R^3 com T(x, y)= (x+y, x-y, 2 x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor (1,2,3) pertence à imagem da transformação linear
Tcolon R^2toR^3, T(x,y)=(x+y,;x-y,;2x)
O conteúdo envolve o conceito de imagem (alcance) de uma transformação linear e a resolução de um sistema linear obtido ao igualar T(x,y) ao vetor dado.

Passo 2

Para determinar se existe (x,y)inR^2 tal que T(x,y)=(1,2,3), montamos o sistema
x+y = 1, x-y = 2, 2x = 3

Passo 3

Da terceira equação 2x=3 obtemos
x = tfrac32
Substituindo em x+y=1, vem
tfrac32 + y = 1 Longrightarrow y = 1 - tfrac32 = -tfrac12

Passo 4

Verificamos agora a segunda equação com l(x,yr)=l(tfrac32,-tfrac12r):
x - y = tfrac32 - l(-tfrac12r) = 2,
o que coincide com a condição x-y=2. Logo, o sistema é consistente e há solução.

Resposta

Sim. O vetor (1,2,3) pertence à imagem de T; uma preimagem é l(x,yr)=l(tfrac32,-tfrac12r).

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