Descreva, em suas palavras, as características do plano
, no sistema, Oxyz, caso:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos descrever, de forma intuitiva, as características do plano
no sistema de coordenadas
, no caso em que
e
.
Conteúdo envolvido: geometria analítica no espaço, plano definido por equação cartesiana, vetor normal, posições relativas em relação aos eixos e ao plano coordenado.
Conteúdo envolvido: geometria analítica no espaço, plano definido por equação cartesiana, vetor normal, posições relativas em relação aos eixos e ao plano coordenado.
Passo 2
Como
, a equação do plano é
Isto garante que o ponto
satisfaz a equação. Logo,
passa pela origem e, por isso, é um subespaço vetorial de dimensão
em
.
Passo 3
O vetor normal ao plano é
Como
,
e
são todos não nulos, nenhum dos eixos
,
ou
é paralelo ao plano. Em outras palavras,
é oblíquo em relação a todos os eixos.
Passo 4
Interseções com os eixos coordenados: se quiséssemos achar, por exemplo, o ponto de interseção com o eixo
, impomos
e
em
, obtendo
. O mesmo ocorre nos outros eixos. Assim, o único ponto de interseção com cada eixo é a própria origem
. Portanto, não existe forma de intercepto não trivial do tipo
.
Passo 5
Forma paramétrica e direção do plano: como
passa pela origem, podemos escolher dois vetores diretores
que são ortogonais ao normal
. Assim, pontos de
têm coordenadas
Passo 6
Ângulos formados com os eixos: os cossenos diretores do vetor normal são
O ângulo
entre o eixo
e o plano
satisfaz
, onde
é o ângulo entre
e
, com
. Idem para
e
.
Resposta
O plano
com
e
– passa pela origem (é subespaço linear de dimensão );
– tem normal com todas as componentes não nulas, logo é oblíquo a todos os eixos;
– intersecta cada eixo apenas no ponto ;
– pode ser escrito parametricamente como combinação linear de dois vetores diretores ortogonais a ;
– faz ângulos característicos com os eixos dados pelos cossenos diretores de .
– passa pela origem (é subespaço linear de dimensão
– tem normal
– intersecta cada eixo apenas no ponto
– pode ser escrito parametricamente como combinação linear de dois vetores diretores ortogonais a
– faz ângulos característicos com os eixos dados pelos cossenos diretores de