Descreva, em suas palavras, as características do plano pi: a x+b y+c z+d=0, no sistema, Oxyz, caso:
a b c neq 0, d=0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos descrever, de forma intuitiva, as características do plano
pi: a x + b y + c z + d = 0
no sistema de coordenadas Oxyz, no caso em que a b c neq 0 e d = 0.
Conteúdo envolvido: geometria analítica no espaço, plano definido por equação cartesiana, vetor normal, posições relativas em relação aos eixos e ao plano coordenado.

Passo 2

Como d=0, a equação do plano é
a x + b y + c z = 0
Isto garante que o ponto O(0,0,0) satisfaz a equação. Logo, pi passa pela origem e, por isso, é um subespaço vetorial de dimensão 2 em R^3.

Passo 3

O vetor normal ao plano é
n = (a,,b,,c)
Como a, b e c são todos não nulos, nenhum dos eixos Ox, Oy ou Oz é paralelo ao plano. Em outras palavras, pi é oblíquo em relação a todos os eixos.

Passo 4

Interseções com os eixos coordenados: se quiséssemos achar, por exemplo, o ponto de interseção com o eixo Ox, impomos y=0 e z=0 em a x + b y + c z = 0, obtendo a x=0 Rightarrow x=0. O mesmo ocorre nos outros eixos. Assim, o único ponto de interseção com cada eixo é a própria origem O. Portanto, não existe forma de intercepto não trivial do tipo tfracxx0+tfracyy0+tfraczz0=1.

Passo 5

Forma paramétrica e direção do plano: como pi passa pela origem, podemos escolher dois vetores diretores
v1 = (-b,,a,,0), v2 = (-c,,0,,a),
que são ortogonais ao normal n. Assim, pontos de pi têm coordenadas
(x,y,z) = s,v1 + t,v2, s,tinR

Passo 6

Ângulos formados com os eixos: os cossenos diretores do vetor normal são
ell = araiza^2+b^2+c^2, m = braiza^2+b^2+c^2, n = craiza^2+b^2+c^2
O ângulo alpha entre o eixo Ox e o plano pi satisfaz alpha = 90^circ - phix, onde phix é o ângulo entre n e Ox, com cosphix=ell. Idem para Oy e Oz.

Resposta

O plano pi: a x + b y + c z = 0 com a b cneq0 e d=0
– passa pela origem (é subespaço linear de dimensão 2);
– tem normal n=(a,b,c) com todas as componentes não nulas, logo é oblíquo a todos os eixos;
– intersecta cada eixo apenas no ponto O;
– pode ser escrito parametricamente como combinação linear de dois vetores diretores ortogonais a n;
– faz ângulos característicos com os eixos dados pelos cossenos diretores de n.

Exercícios relacionados