Determine a equação geral do plano pi em cada caso:
As retas r: X=(1,2,0)+t1 cdot(-1,2,1) e s: X=(1,2,0)+t2 cdot(5,4,3) estão contidas em pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que contém as retas
r: X=(1,2,0)+t1,(-1,2,1) e s: X=(1,2,0)+t2,(5,4,3)
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para determinar o plano precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele.

Passo 2

Como as duas retas partilham o ponto A=(1,2,0), esse será nosso ponto conhecido no plano. Os vetores diretores das retas são
vec u = (-1,2,1), vec v = (5,4,3)

Passo 3

Um vetor normal vec n ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial
vec n = vec u times vec v = i & j & k -1 & 2 & 1 5 & 4 & 3 = (2cdot3 - 1cdot4), i -(-1cdot3 - 1cdot5), j +(-1cdot4 - 2cdot5), k = (2,,8,,-14)
Podemos simplificar dividindo por 2 e usar
vec n=(1,4,-7).

Passo 4

A equação de um plano com ponto A=(x0,y0,z0) e vetor normal vec n=(a,b,c) é
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Aqui A=(1,2,0) e vec n=(1,4,-7), logo
1,(x-1) + 4,(y-2) - 7,(z-0) = 0 Longrightarrow x + 4y -7z -9 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é
x + 4y - 7z - 9 = 0

Exercícios relacionados