Dois alto-falantes estão instalados em um auditório nas posições A=(5,40,1), B=(1,4,3). Ache:
A equação do chamado plano mediador de A, B, ou seja, o plano cujos pontos equidistam de A, B.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos A=(5,40,1) e B=(1,4,3) no espaço R^3 e pede a equação do plano mediador de A e B, isto é, o conjunto dos pontos X que satisfazem lvert X-Arvert=lvert X-Brvert. Vamos usar a condição de igualdade de distâncias ao quadrado para obter uma equação linear em x,y,z.

Passo 2

Seja X=(x,y,z) um ponto genérico. A condição lvert X-Arvert=lvert X-Brvert é equivalente a
(x-5)^2+(y-40)^2+(z-1)^2 = (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2

Passo 3

Expandindo ambos os lados e cancelando os termos quadráticos x^2,y^2,z^2, temos:
l(-10x+25r)+l(-80y+1600r)+l(-2z+1r) = l(-2x+1r)+l(-8y+16r)+l(-6z+9r)

Passo 4

Reunindo tudo num só lado:
-10x+25-80y+1600-2z+1 ;-;(-2x+1-8y+16-6z+9);=;0
Longrightarrow -8x-72y+4z+1600=0
Dividindo por 4, chega-se a
-2x-18y+z+400=0
ou, reorganizando,
2x+18y - z -400 = 0

Resposta

A equação do plano mediador de A e B é
2x + 18y - z - 400 = 0

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