Descreva com palavras a região do mathbbR^3 representada pelas equações a seguir.
x^2+y^2+z^2+6 y-4 z <= 0

Passo 1

O enunciado pede para descrever, em palavras, a região do R^3 dada pela desigualdade x^2+y^2+z^2+6y-4z<= 0. O conteúdo aqui é geometria analítica espacial, e vamos precisar completar quadrados e identificar uma esfera.

Passo 2

Começamos completando o quadrado nos termos envolvendo y e z:
x^2 + y^2 + z^2 + 6y - 4z = x^2 + l(y^2 + 6yr) + l(z^2 - 4zr)
Perceba que
y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9,
z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4

Passo 3

Substituindo essas expressões, obtemos:
x^2 + (y + 3)^2 - 9 + (z - 2)^2 - 4 <= 0
ou seja
x^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 <= 13

Passo 4

A desigualdade x^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 <= 13 representa todos os pontos cujas distâncias ao ponto (0,-3,2) são menores ou iguais a raiz13.

Passo 5

Em outras palavras, é a bola fechada (esfera preenchida) de centro (0,-3,2) e raio raiz13.

Resposta

A região é a bola fechada de centro (0, −3, 2) e raio √13, ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto (0, −3, 2) é menor ou igual a √13.

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