Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}=10+6 y+12 z

Passo 1

O enunciado dá a equação
3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=10+6y+12z.
Pede duas coisas:
  1. Mostrar que essa equação representa uma esfera.
  2. Determinar o centro e o raio dessa esfera.
    Informações relevantes fornecidas: os termos quadráticos são 3x^{2}, 3y^{2}, 3z^{2}; existem termos lineares em y e z no lado direito: 6y e 12z; há uma constante 10.

Passo 2

Objetivo técnico: colocar a equação na forma padrão de uma esfera
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2},
porque qualquer equação dessa forma é a equação de uma esfera de centro (a,b,c) e raio r. Para isso, vamos simplificar a equação dividindo tudo por 3 (isso facilita as contas):
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{10}{3}+2y+4z.

Passo 3

Agora vamos levar todos os termos para o mesmo lado para preparar a “completação de quadrado”:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y-4z-\frac{10}{3}=0.
Agrupamos os termos por variáveis (notando que não há termo linear em x):
x^{2}+\bigl(y^{2}-2y\bigr)+\bigl(z^{2}-4z\bigr)-\frac{10}{3}=0.

Passo 4

Explicando a técnica usada: completar o quadrado.
Regra útil: para qualquer variável u e número m,
u^{2}+2mu=(u+m)^{2}-m^{2}.
Aqui temos termos do tipo y^{2}-2y, que correspondem a u^{2}+2mu com u=y e 2m=-2, ou seja m=-1. Assim
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Expliquei o passo porque na prova às vezes esquecemos como achar o m: observe que o coeficiente de y é -2, metade disso é -1, e ele vira o deslocamento no quadrado.

Passo 5

Fazemos o mesmo para o termo em z: z^{2}-4z. Aqui o coeficiente linear é -4, metade é -2, então
z^{2}-4z=(z-2)^{2}-4.

Passo 6

Substituímos as completions na equação do Passo 3:
x^{2}+\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)+\bigl((z-2)^{2}-4\bigr)-\frac{10}{3}=0.
Agora juntamos os termos constantes: -1-4-\frac{10}{3}.
Calculemos com cuidado em forma de fração:
-1=-\frac{3}{3},\qquad -4=-\frac{12}{3},
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-1-4-\frac{10}{3}=-\frac{3}{3}-\frac{12}{3}-\frac{10}{3}=-\frac{25}{3}.
Portanto a equação fica
x^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}-\frac{25}{3}=0.

Passo 7

Isolando o termo positivo à esquerda, obtemos a forma padrão:
x^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}=\frac{25}{3}.
Isto é exatamente a forma (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} com a=0, b=1, c=2 e r^{2}=\frac{25}{3}.

Passo 8

Identificação final e forma do raio: o centro é (0,1,2) e o raio é
r=\sqrt{\frac{25}{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.
(pequena dica: muitas provas aceitam qualquer uma das formas \frac{5}{\sqrt{3}} ou \frac{5\sqrt{3}}{3}; a segunda está racionalizada.)

Passo 9

Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): expandindo a equação padrão e multiplicando por 3 recuperamos a equação original. Isto confirma que não houve erro algébrico.

Resposta

Centro: (0,1,2)
Raio: \dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}

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