Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
Passo 1
O enunciado dá a equação
Pede duas coisas:
- Mostrar que essa equação representa uma esfera.
- Determinar o centro e o raio dessa esfera.
Informações relevantes fornecidas: os termos quadráticos são, , ; existem termos lineares em e no lado direito: e ; há uma constante .
Passo 2
Objetivo técnico: colocar a equação na forma padrão de uma esfera
porque qualquer equação dessa forma é a equação de uma esfera de centro
e raio
. Para isso, vamos simplificar a equação dividindo tudo por
(isso facilita as contas):
Passo 3
Agora vamos levar todos os termos para o mesmo lado para preparar a “completação de quadrado”:
Agrupamos os termos por variáveis (notando que não há termo linear em
):
Passo 4
Explicando a técnica usada: completar o quadrado.
Regra útil: para qualquer variável e número
,
Regra útil: para qualquer variável
Aqui temos termos do tipo
, que correspondem a
com
e
, ou seja
. Assim
Expliquei o passo porque na prova às vezes esquecemos como achar o
: observe que o coeficiente de
é
, metade disso é
, e ele vira o deslocamento no quadrado.
Passo 5
Fazemos o mesmo para o termo em
:
. Aqui o coeficiente linear é
, metade é
, então
Passo 6
Substituímos as completions na equação do Passo 3:
Agora juntamos os termos constantes:
.
Calculemos com cuidado em forma de fração:
Calculemos com cuidado em forma de fração:
logo
Portanto a equação fica
Passo 7
Isolando o termo positivo à esquerda, obtemos a forma padrão:
Isto é exatamente a forma
com
,
,
e
.
Passo 8
Identificação final e forma do raio: o centro é
e o raio é
(pequena dica: muitas provas aceitam qualquer uma das formas
ou
; a segunda está racionalizada.)
Passo 9
Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): expandindo a equação padrão e multiplicando por
recuperamos a equação original. Isto confirma que não houve erro algébrico.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: