Descreva em palavras a regiâo de \mathrm{R}^{3} representada pela equação ou inequação.
z^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação \;z^{2}=1\; em \mathbb{R}^{3} e pede que eu descreva, em palavras, a região do espaço que essa equação representa. Informações relevantes fornecidas: a equação envolve apenas a coordenada z (não aparece x nem y) e é uma igualdade (não é uma desigualdade).

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa \;z^{2}=1\;. Aqui z é a terceira coordenada de um ponto (x,y,z) em \mathbb{R}^{3}. A expressão \;z^{2}\; significa z multiplicado por si mesmo. A equação exige que esse quadrado seja igual a 1.

Passo 3

Para resolver \;z^{2}=1\; isolamos z. A equação z^{2}=1 tem exatamente duas soluções reais para z: tomar raiz quadrada dos dois lados dá
z=\pm 1,
ou seja, z=1 ou z=-1. É importante lembrar que ao resolver a^{2}=b com b>0 sempre consideramos as duas raízes \pm\sqrt{b}.

Passo 4

Interpretando no espaço: a condição z=1 descreve todos os pontos cuja terceira coordenada vale 1. Esse conjunto é a reta? Não — é um plano paralelo ao plano xy: explicitamente
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=1\}=\{(x,y,1)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Analogamente, z=-1 descreve o plano paralelo ao xy deslocado para z=-1:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=-1\}=\{(x,y,-1)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Portanto a equação original \;z^{2}=1\; é satisfeita exatamente por pontos que pertencem a um desses dois planos. Em linguagem geométrica: a solução é a união dos dois planos horizontais z=1 e z=-1.
Algumas observações práticas e exemplos rápidos para fixar a ideia: o ponto (2,0,1) pertence porque sua coordenada z é 1; o ponto (0,5, -1) pertence porque z=-1; o ponto (0,0,0) não pertence porque 0^{2}=0\neq1. Cada um dos planos é uma superfície bidimensional (um “folha” infinita) no espaço, e as duas folhas são paralelas entre si e disjuntas.

Resposta

União dos dois planos horizontais \{(x,y,1)\mid x,y\in\mathbb{R}\} e \{(x,y,-1)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.

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