Descreva parametricamente a reta tangente à curva de interseção das superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=49 e x^{2}+y^{2}=13, no ponto (3,2,-6) (Sugestão: observe que essa é a reta de interseção dos planos tangentes aos gráficos das superfícies, em P ).

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e um ponto e pede a reta tangente à curva de interseção no ponto dado. Dados e pedido, colocados com calma:
  • Superfície 1: S_1:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=49.
  • Superfície 2: S_2:\;x^{2}+y^{2}=13.
  • Ponto: P=(3,2,-6) (o enunciado indica que esse ponto pertence à curva de interseção).
  • Pedido: descrever parametricamente a reta tangente à curva S_1\cap S_2 em P.

Passo 2

Ideia e conceito usado (explicado passo a passo, sem pressa):
  • Cada uma das superfícies é um nível de uma função. Para S_1 podemos definir F_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-49. Para S_2 podemos definir F_2(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-13.
  • Conceito importante: o gradiente de F, \nabla F, em um ponto de uma superfície nível é normal (perpendicular) ao plano tangente àquela superfície nesse ponto. Isso é porque direções tangentes não mudam primeiro ordem o valor de F, então o produto escalar com \nabla F é zero.
  • Fórmula do gradiente (que vamos usar): \nabla F = \left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right).
  • Plano tangente em P a uma superfície F(x,y,z)=0 tem equação
\nabla F(P)\cdot\big((x,y,z)-P\big)=0.
  • A reta de interseção dos dois planos tangentes é a reta de interesse (dica do enunciado). A direção dessa reta é perpendicular a ambos os vetores normais; portanto é o produto vetorial (cross product) dos dois gradientes: \nabla F_1(P)\times\nabla F_2(P).

Passo 3

Calcular explicitamente os gradientes simbólicos e avaliá-los em P.
  • Para F_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-49 temos
\nabla F_1(x,y,z) = (2x,\,2y,\,2z).
Avaliado em P=(3,2,-6):
\nabla F_1(P) = (2\cdot3,\,2\cdot2,\,2\cdot(-6)) = (6,\,4,\,-12).
  • Para F_2(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-13 temos
\nabla F_2(x,y,z) = (2x,\,2y,\,0).
Avaliado em P:
\nabla F_2(P) = (2\cdot3,\,2\cdot2,\,0) = (6,\,4,\,0).

Passo 4

Escrever as equações dos planos tangentes usando \nabla F(P)\cdot((x,y,z)-P)=0.
  • Plano tangente a S_1 em P:
(6,\,4,\,-12)\cdot\big((x,y,z)-(3,2,-6)\big)=0.
Fazendo o produto escalar:
6(x-3)+4(y-2)-12(z+6)=0.
  • Plano tangente a S_2 em P:
(6,\,4,\,0)\cdot\big((x,y,z)-(3,2,-6)\big)=0,
ou seja
6(x-3)+4(y-2)+0\cdot(z+6)=0,
que simplifica para
6(x-3)+4(y-2)=0.
Observe: esse segundo plano não depende de z, portanto é um plano vertical (contém todas as rectas com z variando).

Passo 5

A direção da reta de interseção dos dois planos é perpendicular a ambos os vetores normais \nabla F_1(P) e \nabla F_2(P). Calculamos o produto vetorial:
\nabla F_1(P)\times\nabla F_2(P) = (6,4,-12)\times(6,4,0).
Compute passo a passo pelo determinante:
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 6 & 4 & -12 \\\\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4\cdot0-(-12)\cdot4)-\mathbf{j}(6\cdot0-(-12)\cdot6)+\mathbf{k}(6\cdot4-4\cdot6).
Agora avaliar cada componente:
  • Componente i: 4\cdot0-(-12)\cdot4 = 0 +48 = 48.
  • Componente j: 6\cdot0-(-12)\cdot6 = 0 +72 =72, com o sinal negativo do determinante dá -72.
  • Componente k: 6\cdot4-4\cdot6 = 24-24 = 0.
    Logo
\nabla F_1(P)\times\nabla F_2(P) = (48,\,-72,\,0).
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 24 (ou por outro fator comum) para obter um vetor de direção mais simples:
(48,-72,0) = 24\cdot(2,-3,0),
portanto um vetor de direção conveniente é (2,-3,0).

Passo 6

Construir a parametrização da reta usando ponto-direção: a reta que passa por P=(3,2,-6) com direção v=(2,-3,0) tem forma paramétrica
(x,y,z) = (3,2,-6) + t\,(2,-3,0),\qquad t\in\mathbb{R}.
Escrito coordenada a coordenada:
\begin{cases} x = 3 + 2t,\\[4pt] y = 2 - 3t,\\[4pt] z = -6. \end{cases}]

Passo 7

Verificação rápida (checa se a reta realmente está nos dois planos tangentes):
  • Substituindo x=3+2t, y=2-3t na equação do plano de S_2: 6(x-3)+4(y-2)=6(2t)+4(-3t)=12t-12t=0. OK.
  • Na equação do plano de S_1: 6(x-3)+4(y-2)-12(z+6)=12t-12t-12(0)=0. OK.
    Portanto a reta está na interseção dos dois planos tangentes, como queríamos.

Resposta

(x,y,z) = (3,2,-6) + t(2,-3,0),\qquad t\in\mathbb{R}.

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