Descreva parametricamente a reta tangente à curva de interseção das superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=49 e x^{2}+y^{2}=13, no ponto (3,2,-6) (Sugestão: observe que essa é a reta de interseção dos planos tangentes aos gráficos das superfícies, em P ).
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e um ponto e pede a reta tangente à curva de interseção no ponto dado. Dados e pedido, colocados com calma:
Superfície 1: S_1:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=49.
Superfície 2: S_2:\;x^{2}+y^{2}=13.
Ponto: P=(3,2,-6) (o enunciado indica que esse ponto pertence à curva de interseção).
Pedido: descrever parametricamente a reta tangente à curva S_1\cap S_2 em P.
Passo 2
Ideia e conceito usado (explicado passo a passo, sem pressa):
Cada uma das superfícies é um nível de uma função. Para S_1 podemos definir F_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-49. Para S_2 podemos definir F_2(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-13.
Conceito importante: o gradiente de F, \nabla F, em um ponto de uma superfície nível é normal (perpendicular) ao plano tangente àquela superfície nesse ponto. Isso é porque direções tangentes não mudam primeiro ordem o valor de F, então o produto escalar com \nabla F é zero.
Fórmula do gradiente (que vamos usar): \nabla F = \left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right).
Plano tangente em P a uma superfície F(x,y,z)=0 tem equação
\nabla F(P)\cdot\big((x,y,z)-P\big)=0.
A reta de interseção dos dois planos tangentes é a reta de interesse (dica do enunciado). A direção dessa reta é perpendicular a ambos os vetores normais; portanto é o produto vetorial (cross product) dos dois gradientes: \nabla F_1(P)\times\nabla F_2(P).
Passo 3
Calcular explicitamente os gradientes simbólicos e avaliá-los em P.
Escrever as equações dos planos tangentes usando \nabla F(P)\cdot((x,y,z)-P)=0.
Plano tangente a S_1 em P:
(6,\,4,\,-12)\cdot\big((x,y,z)-(3,2,-6)\big)=0.
Fazendo o produto escalar:
6(x-3)+4(y-2)-12(z+6)=0.
Plano tangente a S_2 em P:
(6,\,4,\,0)\cdot\big((x,y,z)-(3,2,-6)\big)=0,
ou seja
6(x-3)+4(y-2)+0\cdot(z+6)=0,
que simplifica para
6(x-3)+4(y-2)=0.
Observe: esse segundo plano não depende de z, portanto é um plano vertical (contém todas as rectas com z variando).
Passo 5
A direção da reta de interseção dos dois planos é perpendicular a ambos os vetores normais \nabla F_1(P) e \nabla F_2(P). Calculamos o produto vetorial: