Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 0 1 2 3 4
y 0 1 1 4 4
(a) y=1,1 x-0,2
(b) y=-1,1 x-0,2
(c) y=1,1 x+0,2
(d) y=-1,1 x-0,2
(e) Nãn sei

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela?” e dá as alternativas (a) a (e).
Informações fornecidas (os pontos estão na tabela):
(x,y) = (0,0),\\ (1,1),\\ (2,1),\\ (3,4),\\ (4,4).
Preciso encontrar a reta que melhor ajusta esses pontos (ou seja, a reta que representa o ajuste por mínimos quadrados) e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Vamos usar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta do tipo \displaystyle y = a + b x, onde:
\displaystyle a é o coeficiente linear (ordenada na origem) e \displaystyle b é o coeficiente angular (inclinação).
O critério dos mínimos quadrados escolhe a e b que minimizam a soma dos quadrados dos erros \sum (y_i - (a + b x_i))^2. Há fórmulas diretas para b e a:
b = \frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}
a = \frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}
Explicando as letras: n é o número de pontos; \sum x_i é a soma dos valores de x; \sum y_i é a soma dos valores de y; \sum x_i y_i é a soma dos produtos x_i y_i; \sum x_i^2 é a soma dos quadrados de x_i.

Passo 3

Calcular as somas necessárias a partir dos pontos dados:
n=5.
\sum x_i = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
\sum y_i = 0 + 1 + 1 + 4 + 4 = 10
\sum x_i^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30
\sum x_i y_i = 0\cdot0 + 1\cdot1 + 2\cdot1 + 3\cdot4 + 4\cdot4 = 0 + 1 + 2 + 12 + 16 = 31

Passo 4

Calcular a inclinação b usando a fórmula:
b = \frac{5\cdot 31 - 10\cdot 10}{5\cdot 30 - 10^2}
Calcule passo a passo:
5\cdot 31 = 155,\qquad 10\cdot 10 = 100,\qquad 155 - 100 = 55
5\cdot 30 = 150,\qquad 10^2 = 100,\qquad 150 - 100 = 50
b = \frac{55}{50} = \frac{11}{10} = 1,1

Passo 5

Calcular o coeficiente linear a:
a = \frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n} = \frac{10 - 1,1\cdot 10}{5}
1,1\cdot 10 = 11,\qquad 10 - 11 = -1
a = \frac{-1}{5} = -0,2

Passo 6

Portanto a reta de ajuste por mínimos quadrados é
y = 1,1\,x - 0,2.
Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \;y=1,1\,x-0,2

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