(Operações Unitárias de Separação) Em processos de separação por adsorção, um componente (adsorvato) em uma fase gasosa ou liquida é transferido por interações fisicoquímicas para a superficie de um sólido (adsorvente). Em geral, esse processo é feito em uma coluna de leito fixo, ou seja, o sólido é empacotado em uma torre pela qual o fluido precisa passar. A curva de ruptura (“breakthrough curve”) do leito indica a concentração do soluto na saida da coluna ao longo do tempo.
A capacidade total \left(t_{t}\right) de adsorção da coluna é calculada pela integral a seguir, onde o tempo de saturação \left(t_{s}\right) é aquele em que a concentração de saída da coluna é igual à concentração de entrada \left(C / C_{0}=1.0\right).
t_{t}=\int_{0}^{t_{s}}\left(1-\frac{C}{C_{0}}\right) d t
A capacidade útil ( t_{u} ) da coluna, descrita pela equação abaixo, é medida até o ponto de ruptura (ou ponto de breakthrough) t_{b}. O ponto de ruptura é o tempo a partir do qual a concentração na saida de coluna deixa de ser desprezível \left(C / C_{0}=0.01\right).
t_{u}=\int_{0}^{t_{b}}\left(1-\frac{C}{C_{0}}\right) d t
Os dados da tabela a seguir são de experimentos de adsorção de vapor de etanol em uma corrente de ar usando uma coluna de carvão ativado.
Tempo (hrs) \boldsymbol{C} / \boldsymbol{C}_{0}
0.0 0.000
3.0 0.000
3.5 0.002
4.0 0.030
4.5 0.155
5.0 0.396
5.5 0.658
6.0 0.903
6.2 0.933
6.5 0.975
6.8 0.993
a) Plote o gráfico da curva de ruptura da coluna de adsorção em Python. Determine o tempo de ruptura e explique o significado fisico deste gráfico.
b) Calcule a fração da capacidade total da coluna que é usada até o ponto de breakthrough.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. (a) Fazer o gráfico da curva de ruptura (breakthrough curve) em Python, determinar o tempo de ruptura (ponto de breakthrough t_b) e explicar o significado físico do gráfico.
  2. (b) Calcular a fração da capacidade total da coluna que é usada até o ponto de breakthrough, ou seja \dfrac{t_u}{t_t}.
Dados fornecidos (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{l|l} \text{Tempo (h)} & C/C_0\\hline 0{,}0 & 0{,}000\\\\ 3{,}0 & 0{,}000\\\\ 3{,}5 & 0{,}002\\\\ 4{,}0 & 0{,}030\\\\ 4{,}5 & 0{,}155\\\\ 5{,}0 & 0{,}396\\\\ 5{,}5 & 0{,}658\\\\ 6{,}0 & 0{,}903\\\\ 6{,}2 & 0{,}933\\\\ 6{,}5 & 0{,}975\\\\ 6{,}8 & 0{,}993 \end{array}
Observações iniciais úteis (não resolvo ainda): o ponto de breakthrough t_b é definido quando C/C_0=0{,}01. O tempo de saturação t_s é quando C/C_0=1{,}0. A capacidade útil
t_u=\int_{0}^{t_b}\left(1-\frac{C}{C_0}\right)dt
e a capacidade total
t_t=\int_{0}^{t_s}\left(1-\frac{C}{C_0}\right)dt.

Passo 2

Encontrar t_b por interpolação linear entre os pontos mais próximos da tabela.
Os pontos que cercam C/C_0=0{,}01 são:
(t_1,y_1)=(3{,}5,\;0{,}002),\qquad (t_2,y_2)=(4{,}0,\;0{,}030).
A interpolação linear usa a fórmula
t_b = t_1 + (0{,}01-y_1)\frac{t_2-t_1}{y_2-y_1}.
Substituindo os números:
t_b = 3{,}5 + (0{,}01-0{,}002)\frac{4{,}0-3{,}5}{0{,}030-0{,}002} =3{,}5 + 0{,}008\cdot\frac{0{,}5}{0{,}028}.
Calculando:
0{,}008\cdot\frac{0{,}5}{0{,}028}=0{,}004/0{,}028=0{,}142857\ldots
logo
t_b \approx 3{,}5 + 0{,}142857 = 3{,}642857\\ \text{h}.
Arredondando convenientemente para a prova: \displaystyle t_b\approx 3{,}643\\ \text{h}.

Passo 3

Determinar t_s (tempo em que C/C_0=1{,}0). A tabela não contém exatamente C/C_0=1{,}0; o último ponto é (6{,}8,\;0{,}993). Vou extrapolar linearmente usando os dois últimos pontos conhecidos para estimar onde atinge 1{,}0:
Pontos usados para extrapolação:
(t_a,y_a)=(6{,}5,\;0{,}975),\qquad (t_b',y_b')=(6{,}8,\;0{,}993).
A fórmula (análoga à interpolação) para achar t_s quando y=1{,}0 é
t_s = t_a + (1{,}0-y_a)\frac{t_b'-t_a}{y_b'-y_a}.
Substituindo:
t_s = 6{,}5 + (1{,}0-0{,}975)\frac{6{,}8-6{,}5}{0{,}993-0{,}975} =6{,}5 + 0{,}025\cdot\frac{0{,}3}{0{,}018}.
Calculando:
0{,}025\cdot\frac{0{,}3}{0{,}018}=0{,}0075/0{,}018=0{,}416666\ldots\times 0{,}1\\ \text{(mas vamos ao valor numérico)}=0{,}416666\ldotsé
Na verdade, calcular diretamente:
0{,}0075/0{,}018\approx 0{,}4166667.
Então
t_s \approx 6{,}5 + 0{,}4166667 = 6{,}9166667\\ \text{h}.
Arredondando: \displaystyle t_s\approx 6{,}917\\ \text{h}.
(Comentário: é extrapolação pequena e aceitável para estimar t_s dado que os pontos estão muito próximos de 1,0.)

Passo 4

Explicar e aplicar a regra dos trapézios para calcular as integrais discretas.
A regra dos trapézios para dados discretos (t_i,f_i) dá a aproximação
\int_{t_0}^{t_n} f(t)\,dt \approx \sum_{i=0}^{n-1}\frac{f_i+f_{i+1}}{2}(t_{i+1}-t_i).
Aqui vamos aplicar com f(t)=1-\dfrac{C}{C_0}, ou seja cada f_i=1-y_i onde y_i=C/C_0.
Primeiro calculo t_u=\int_{0}^{t_b} (1-C/C_0)\,dt. Usarei os pontos até t_b: (0{,}0,1{,}000), (3{,}0,1{,}000), (3{,}5,0{,}998), (3{,}642857,0{,}990). (O último ponto é o interpolado com C/C_0=0{,}01.)
Calcule cada área de trapézio:
  1. Intervalo 0{,}0 a 3{,}0:
A_1 = \frac{1{,}000+1{,}000}{2}\cdot(3{,}0-0{,}0)=1{,}000\cdot 3{,}0=3{,}000.
  1. Intervalo 3{,}0 a 3{,}5:
A_2 = \frac{1{,}000+0{,}998}{2}\cdot(3{,}5-3{,}0)=0{,}999\cdot 0{,}5=0{,}4995.
  1. Intervalo 3{,}5 a 3{,}642857:
A_3 = \frac{0{,}998+0{,}990}{2}\cdot(3{,}642857-3{,}5) =0{,}994\cdot 0{,}142857\approx 0{,}142000.
Somando:
t_u \approx A_1+A_2+A_3 = 3{,}000 + 0{,}4995 + 0{,}1420 = 3{,}6415\\ \text{h}.
Arredondando: \displaystyle t_u\approx 3{,}642\\ \text{h}.

Passo 5

Calcular t_t=\int_{0}^{t_s}(1-C/C_0)\,dt usando todos os dados e o ponto extrapolado final (6{,}916667,\;0{,}0) correspondente a C/C_0=1{,}0.
Montamos os valores de f=1-C/C_0 para cada tempo:
\begin{array}{l|l} t\\ (\text{h}) & f=1-C/C_0 \\hline 0{,}0 & 1{,}000\\\\ 3{,}0 & 1{,}000\\\\ 3{,}5 & 0{,}998\\\\ 4{,}0 & 0{,}970\\\\ 4{,}5 & 0{,}845\\\\ 5{,}0 & 0{,}604\\\\ 5{,}5 & 0{,}342\\\\ 6{,}0 & 0{,}097\\\\ 6{,}2 & 0{,}067\\\\ 6{,}5 & 0{,}025\\\\ 6{,}8 & 0{,}007\\\\ 6{,}916667 & 0{,}000 \end{array}
Agora aplico a soma dos trapézios (apresento cada termo breve):
  1. 0{,}0\to3{,}0:\\ A_1=3{,}000 (já calculado).
  2. 3{,}0\to3{,}5:\\ A_2=0{,}4995.
  3. 3{,}5\to4{,}0:\\ A_3=\dfrac{0{,}998+0{,}970}{2}\cdot0{,}5=0{,}4920.
  4. 4{,}0\to4{,}5:\\ A_4=\dfrac{0{,}970+0{,}845}{2}\cdot0{,}5=0{,}45375.
  5. 4{,}5\to5{,}0:\\ A_5=\dfrac{0{,}845+0{,}604}{2}\cdot0{,}5=0{,}36225.
  6. 5{,}0\to5{,}5:\\ A_6=\dfrac{0{,}604+0{,}342}{2}\cdot0{,}5=0{,}2365.
  7. 5{,}5\to6{,}0:\\ A_7=\dfrac{0{,}342+0{,}097}{2}\cdot0{,}5=0{,}10975.
  8. 6{,}0\to6{,}2:\\ A_8=\dfrac{0{,}097+0{,}067}{2}\cdot0{,}2=0{,}0164.
  9. 6{,}2\to6{,}5:\\ A_9=\dfrac{0{,}067+0{,}025}{2}\cdot0{,}3=0{,}0138.
  10. 6{,}5\to6{,}8:\\ A_{10}=\dfrac{0{,}025+0{,}007}{2}\cdot0{,}3=0{,}0048.
  11. 6{,}8\to6{,}916667:\\ A_{11}=\dfrac{0{,}007+0{,}000}{2}\cdot0{,}116667\approx 0{,}0004083.
Somando todos:
t_t \approx \sum_{i=1}^{11} A_i \approx 5{,}1891583\\ \text{h}.
Arredondando: \displaystyle t_t\approx 5{,}189\\ \text{h}.

Passo 6

Calcular a fração da capacidade total utilizada até t_b:
\text{fração}=\frac{t_u}{t_t}\approx\frac{3{,}6415}{5{,}1891583}\approx 0{,}7018.çã
Convertendo para porcentagem:
0{,}7018\times100\% \approx 70{,}18\%\approx 70{,}2\%.
Portanto, aproximadamente 70{,}2\% da capacidade total da coluna é utilizada até o momento de breakthrough.

Passo 7

Código Python (para você rodar no seu computador) que faz o gráfico, faz a interpolação e calcula numericamente as integrais com maior precisão usando numpy; ele reproduz o que calculei manualmente:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# dados (tempo em horas, C/C0)
t = np.array([0.0, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0, 6.2, 6.5, 6.8])
y = np.array([0.000, 0.000, 0.002, 0.030, 0.155, 0.396, 0.658, 0.903, 0.933, 0.975, 0.993])

# achar t_b por interpolação linear para y=0.01
t_b = np.interp(0.01, y, t)  # observa que np.interp(x, xp, fp) -> x é valor y, xp é y, fp é t
# para np.interp usamos inversão: passar y como xp e t como fp
# achar t_s por extrapolação linear simples (usar últimos dois pontos)
t_s = t[-1] + (1.0 - y[-1]) * (t[-1] - t[-2]) / (y[-1] - y[-2])

# inserir os pontos t_b e t_s na série para integrar
t_full = np.concatenate((t, [t_b, t_s]))
y_full = np.concatenate((y, [0.01, 1.0]))

# ordenar pelo tempo
order = np.argsort(t_full)
t_full = t_full[order]
y_full = y_full[order]

f_full = 1.0 - y_full  # função a integrar

# integra com trapz
t_u = np.trapz(f_full[t_full <= t_b], t_full[t_full <= t_b])
t_t = np.trapz(f_full, t_full)

print("t_b (h) =", t_b)
print("t_s (h) =", t_s)
print("t_u (h) =", t_u)
print("t_t (h) =", t_t)
print("fração t_u/t_t =", t_u / t_t)

# plot
plt.figure()
plt.plot(t, y, 'o-', label='C/C0 (dados)')
plt.axvline(t_b, color='r', linestyle='--', label=f't_b ≈ {t_b:.3f} h')
plt.axvline(t_s, color='k', linestyle=':', label=f't_s ≈ {t_s:.3f} h')
plt.xlabel('Tempo (h)')
plt.ylabel('C/C0')
plt.title('Curva de ruptura (breakthrough curve)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Esse código plota a curva e imprime os valores de t_b,t_s,t_u,t_t e a razão t_u/t_t. Use-o para conferir os números e gerar o gráfico pedido.

Passo 8

Interpretação física e incentivo (resumido e direto):
  • A curva C/C_0 versus tempo mostra como a concentração do soluto na saída da coluna evolui: inicialmente o adsorvente retém praticamente todo o soluto ( C/C_0\approx0), depois a saída começa a aumentar até atingir a entrada ( C/C_0=1) quando o leito está saturado.
  • O ponto de breakthrough t_b marca quando a concentração de saída deixa de ser desprezível ( C/C_0=0{,}01). Na prática, é o momento a partir do qual a coluna já não protege a jusante como deveria e geralmente exige ação (troca de leito, regeneração, etc.).
  • A fração t_u/t_t diz quanto da “capacidade total” (área sob 1-C/C_0 até saturação) foi efetivamente aproveitada até o momento em que começamos a detectar o soluto na saída. No nosso caso cerca de 70{,}2\%: isto significa que, antes mesmo da coluna atingir saturação completa, já perdemos cerca de 30\% da capacidade total antes do ponto que consideramos critério de fim de operação útil.
Força aí — com esses passos você consegue tanto rodar o código para ver o gráfico quanto refazer a conta manualmente na prova se pedirem. Boa sorte!

Resposta

(a) t_b \approx 3{,}643\\ \text{h}. Significado físico: é o tempo em que a saída da coluna atinge C/C_0=0{,}01; a partir desse instante a concentração deixa de ser desprezível e a coluna começa a falhar no controle do soluto.
(b) \dfrac{t_u}{t_t}\approx 0{,}7018 \approx 70{,}2\%.

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