Descreva os passos que constituem o método da bisseção. Para que situações o método da bisseção pode ser empregado?

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Vamos ver o método da bisseção, que é uma técnica de busca de raízes de uma função contínua em um intervalo onde ela muda de sinal. Para aplicar, precisamos de uma função contínua f, um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)·f(b)<0, e uma tolerância ε para parar o processo.

Passo 2

Escolha do intervalo inicial: Começamos com um intervalo [a,b] em que a função seja contínua e onde haja uma troca de sinal, ou seja,
f(a) cdot f(b) < 0
Isso garante que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo, por causa do teorema do valor intermediário.

Passo 3

Cálculo do ponto médio: Em cada iteração, calculamos o ponto médio do intervalo:
m = a + b2

Passo 4

Avaliação da função no ponto médio: Verificamos o valor f(m). Se f(m)=0 (ou |f(m)| é suficientemente pequeno), então m é a raiz e podemos parar.

Passo 5

Definição do novo intervalo: Se f(m)≠0, vemos em qual das metades a função muda de sinal. Se f(a)·f(m)<0, a raiz está em [a,m], então definimos b←m. Caso contrário, a raiz está em [m,b], e fazemos a←m.

Passo 6

Verificação do critério de parada: Conferimos se o tamanho do intervalo |b−a| é menor que a tolerância ε ou se |f(m)|<ε. Se sim, paramos, com m como aproximação da raiz. Senão, retornamos ao passo de cálculo do ponto médio.

Passo 7

Convergência e garantia: A cada iteração o intervalo reduz-se pela metade, garantindo convergência linear e que a raiz permanecerá no intervalo selecionado até que a precisão desejada seja atingida.

Resposta

O método da bisseção é empregado quando se busca uma raiz de uma função contínua em um intervalo no qual ela muda de sinal (ou seja, f(a)·f(b)<0). Não exige derivadas, garante convergência, mas é mais lento que métodos de ordem superior. Pode ser usado sempre que tivermos certeza da continuidade de f e da troca de sinal no intervalo inicial.

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