Provar que o polinômio de Lagrange que interpola a tabela
pode ser construído através da fórmula de recorrência
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio de Lagrange que interpola os pontos
pode ser obtido por meio da recorrência
em que
O conteúdo aqui é interpolação polinomial de Lagrange e prova por indução.
Passo 2
Para iniciar, verificamos o caso base k=0. Temos
que é um polinômio de grau 0 interpolando o único ponto
. Está tudo certo para a base da indução.
Passo 3
Suponha agora que para algum
, o polinômio
de grau
interpola
para
. Definimos então
onde
e
.
Passo 4
Mostramos que
interpola os pontos
:
- Para
, temos , logo - Para
, como ,
Assim,
interpola corretamente.
Passo 5
Verificamos o grau de
:
tem grau
e
tem grau
, então o termo extra tem grau
. Logo
tem grau
.
Passo 6
Pela unicidade do polinômio interpolador de grau
que se anula em
e passa por
, concluímos que
coincide com o polinômio de Lagrange até o passo
. Portanto, para
obtemos o interpolador de Lagrange desejado.
Resposta
O polinômio de Lagrange interpolador de
é exatamente o
obtido pela recorrência dada.