Provar que o polinômio de Lagrange que interpola a tabela & P0(x)=f0 & pk(x)=Pk-1(x)+[fk-Pk-1(xk)] omegak(x)omegak(xk) pode ser construído através da fórmula de recorrência
onde .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio de Lagrange que interpola os pontos (x0,f0),dots,(xn,fn) pode ser obtido por meio da recorrência
P0(x)=f0, Pk(x)=Pk-1(x)+l[fk-Pk-1(xk)r]omegak(x)omegak(xk)
em que
omega1(x)=x-x0, omegak+1(x)=(x-xk),omegak(x)
O conteúdo aqui é interpolação polinomial de Lagrange e prova por indução.

Passo 2

Para iniciar, verificamos o caso base k=0. Temos
P0(x)=f0
que é um polinômio de grau 0 interpolando o único ponto (x0,f0). Está tudo certo para a base da indução.

Passo 3

Suponha agora que para algum k-1>=0, o polinômio Pk-1(x) de grau <= k-1 interpola (xi,fi) para i=0,1,dots,k-1. Definimos então
Pk(x)=Pk-1(x)+Dkomegak(x)omegak(xk),
onde Dk=fk-Pk-1(xk) e omegak(x)=(x-x0)cdots(x-xk-1).

Passo 4

Mostramos que Pk interpola os pontos x0,dots,xk:
  • Para i, temos omegak(xi)=0, logo Pk(xi)=Pk-1(xi)=fi
  • Para i=k, como omegak(xk)neq0, Pk(xk)=Pk-1(xk)+Dk=fk
Assim, Pk interpola corretamente.

Passo 5

Verificamos o grau de Pk: Pk-1 tem grau <= k-1 e omegak tem grau k, então o termo extra tem grau k. Logo Pk tem grau <= k.

Passo 6

Pela unicidade do polinômio interpolador de grau <= k que se anula em x0,dots,xk-1 e passa por (xk,fk), concluímos que Pk coincide com o polinômio de Lagrange até o passo k. Portanto, para k=n obtemos o interpolador de Lagrange desejado.

Resposta

O polinômio de Lagrange interpolador de (x0,f0),dots,(xn,fn) é exatamente o Pn(x) obtido pela recorrência dada.

Exercícios relacionados