Como funciona o método de ponto fixo simples?

Passo 1

A questão pede para explicar como funciona o método de ponto fixo simples, que faz parte da matéria de métodos numéricos para resolver equações não-lineares. Para aplicá-lo, vamos precisar reescrever a equação original f(x)=0 na forma x=g(x), definir um chute inicial x₀ e iterar.

Passo 2

O primeiro passo efetivo é transformar a equação f(x)=0 em x=g(x). Essa reformulação depende da escolha de uma função g que satisfaça x=g(x) sempre que f(x)=0. Nem toda g serve: a escolha afeta diretamente a convergência.

Passo 3

Com a função g definida, o método gera uma sequência de aproximações por meio da iteração simples:
xn+1 = g(xn),
com n=0,1,2,…, partindo de um valor inicial x₀ dado pelo usuário.

Passo 4

Para garantir que a sequência converja para a solução desejada, é fundamental verificar a condição de ponto fixo. Se existir um intervalo I contendo a raiz tal que g é contínua em I e
maxxin I |g'(x)| = k < 1,
então a iteração converge de forma linear para o ponto fixo x*, e o erro satisfaz
|xn+1-x^*| <= k,|xn - x^*|

Passo 5

Na prática, a gente escolhe um critério de parada tolerância ε e interrompe quando
|xn+1-xn| < varepsilon

Passo 6

Em resumo, o procedimento é: (1) reformular f(x)=0 como x=g(x); (2) escolher x₀ e tolerância ε; (3) iterar x_{n+1}=g(x_n); (4) parar quando o critério for atendido.
É importante testar a derivada de g no intervalo de interesse para assegurar |g’(x)|<1, senão o método pode divergir ou oscilar.

Resposta

O método de ponto fixo simples consiste em reescrever f(x)=0 como x=g(x) e gerar a sequência x_{n+1}=g(x_n). Se em um intervalo I tivermos maxxin I|g'(x)|<1, a sequência converge linearmente ao ponto fixo x* (solução). Paramos a iteração quando a diferença entre dois passos sucessivos fica abaixo da tolerância definida.

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