Descreva os passos que voce daria para encontrar os limites de integração que expressam uma integral dupla numa região não retangular como uma integral dupla iterada. Ilustre sua discussão com um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para converter uma integral dupla
integral duplaDf(x,y),dA
sobre uma região não retangular D em uma integral iterada. O conteúdo envolve geometria de regiões no plano xy e projeção dessas regiões nos eixos para determinar limites de integração.

Passo 2

Método geral para obter os limites de integração:
  1. Esboce a região D no plano xy para visualizar suas fronteiras (curvas ou retas).
  2. Decida a ordem de integração—por exemplo, primeiro em y e depois em x (ordem dy,dx), ou o contrário (ordem dx,dy).
  3. Para a variável externa, projete D no eixo correspondente para determinar os limites constantes (intervalo fixo).
  4. Para cada valor da variável externa, encontre a variação da variável interna entre as duas curvas que limitam D.
  5. Escreva a integral iterada com esses limites.

Passo 3

Exemplo: seja
D = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= x
Esboce D: é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1) abaixo da reta y=x.

Passo 4

Ordem dy,dx:
– Variável externa: x vai do mínimo ao máximo da projeção de D no eixo x, ou seja, de 0 a 1.
– Para cada x fixo, y varia entre a curva de baixo y=0 e a de cima y=x.
Logo
integral duplaDf(x,y),dA =integralx=0^1l(integraly=0^xf(x,y),dyr),dx

Passo 5

Ordem dx,dy:
– Variável externa: y vai do mínimo ao máximo da projeção de D no eixo y, ou seja, de 0 a 1.
– Para cada y fixo, x varia entre a curva de esquerda x=y e a de direita x=1.
Logo
integral duplaDf(x,y),dA =integraly=0^1l(integralx=y^1f(x,y),dxr),dy

Resposta

A integral dupla sobre D pode ser escrita de duas formas iteradas:
integral duplaDf(x,y),dA =integral0^1l(integral0^xf(x,y),dyr),dx ou integral duplaDf(x,y),dA =integral0^1l(integraly^1f(x,y),dxr),dy

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