Descreva os passos que voce daria para encontrar os limites de integração que expressam uma integral dupla numa região não retangular como uma integral dupla iterada. Ilustre sua discussão com um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para converter uma integral dupla
sobre uma região não retangular
em uma integral iterada. O conteúdo envolve geometria de regiões no plano
e projeção dessas regiões nos eixos para determinar limites de integração.
Passo 2
Método geral para obter os limites de integração:
- Esboce a região
no plano para visualizar suas fronteiras (curvas ou retas). - Decida a ordem de integração—por exemplo, primeiro em
e depois em (ordem ), ou o contrário (ordem ). - Para a variável externa, projete
no eixo correspondente para determinar os limites constantes (intervalo fixo). - Para cada valor da variável externa, encontre a variação da variável interna entre as duas curvas que limitam
. - Escreva a integral iterada com esses limites.
Passo 3
Exemplo: seja
Esboce
: é o triângulo com vértices em
,
e
abaixo da reta
.
Passo 4
Ordem
:
– Variável externa: vai do mínimo ao máximo da projeção de
no eixo
, ou seja, de
a
.
– Para cada fixo,
varia entre a curva de baixo
e a de cima
.
Logo
– Variável externa:
– Para cada
Logo
Passo 5
Ordem
:
– Variável externa: vai do mínimo ao máximo da projeção de
no eixo
, ou seja, de
a
.
– Para cada fixo,
varia entre a curva de esquerda
e a de direita
.
Logo
– Variável externa:
– Para cada
Logo
Resposta
A integral dupla sobre
pode ser escrita de duas formas iteradas: