Descreva os passos que você daria para inverter a ordem de integração de uma integral dupla iterada. Ilustre sua discussão com um exemplo.
Passo 1
Vamos supor que temos uma integral dupla iterada
e queremos trocar a ordem de integração para obter uma expressão do tipo
O conteúdo é cálculo de integrais duplas e precisamos conhecer como caracterizar a região de integração no plano
.
Passo 2
O primeiro passo prático é descrever a região
graficamente. Desenhe as curvas
,
e as retas verticais
,
. Assim você visualiza o “contorno” de
.
Passo 3
A partir do esboço, identifique a variação de
em
. Ou seja, determine
Para cada valor fixo de
em
, encontre as curvas ou retas que definem a mínima e a máxima abscissa
, chamando-as de
e
.
Passo 4
Com essa descrição de
em termos de
primeiro e
depois, reescreva a integral na ordem invertida:
Sempre confira no desenho se a região está corretamente representada e se
para todo
.
Passo 5
Exemplo concreto:
Considere
Considere
– Região
: triângulo com vértices em
,
e
.
– No esboço vemos que varia de
até
.
– Para cada , a abscissa
vai da reta
(isto é
) até a curva
, que isolada dá
; o limite superior é
.
Logo
– No esboço vemos que
– Para cada
Logo
Resposta
A integral
invertida fica