Descreva os passos que você daria para inverter a ordem de integração de uma integral dupla iterada. Ilustre sua discussão com um exemplo.

Passo 1

Vamos supor que temos uma integral dupla iterada
integralx=a^bintegraly=g1(x)^g2(x)f(x,y),dy,dx
e queremos trocar a ordem de integração para obter uma expressão do tipo
integraly=Ymin^Ymaxintegralx=h1(y)^h2(y)f(x,y),dx,dy
O conteúdo é cálculo de integrais duplas e precisamos conhecer como caracterizar a região de integração no plano (x,y).

Passo 2

O primeiro passo prático é descrever a região
D=l(x,y)mid a<= x<= b,;g1(x)<= y<= g2(x)r
graficamente. Desenhe as curvas y=g1(x), y=g2(x) e as retas verticais x=a, x=b. Assim você visualiza o “contorno” de D.

Passo 3

A partir do esboço, identifique a variação de y em D. Ou seja, determine
Ymin=minxin[a,b]g1(x), Ymax=maxxin[a,b]g2(x)
Para cada valor fixo de y em [Ymin,Ymax], encontre as curvas ou retas que definem a mínima e a máxima abscissa x, chamando-as de x=h1(y) e x=h2(y).

Passo 4

Com essa descrição de D em termos de y primeiro e x depois, reescreva a integral na ordem invertida:
integraly=Ymin^Ymaxintegralx=h1(y)^h2(y)f(x,y),dx,dy
Sempre confira no desenho se a região está corretamente representada e se h1(y)<= h2(y) para todo y.

Passo 5

Exemplo concreto:
Considere
I=integralx=0^2integraly=0^x/2f(x,y),dy,dx
– Região D: triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,1).
– No esboço vemos que y varia de 0 até 1.
– Para cada yin[0,1], a abscissa x vai da reta y=0 (isto é x>=0) até a curva y=x/2, que isolada dá x=2y; o limite superior é x=2.
Logo
I=integraly=0^1integralx=2y^2f(x,y),dx,dy

Resposta

A integral
integralx=0^2integraly=0^x/2f(x,y),dy,dx
invertida fica
integraly=0^1integralx=2y^2f(x,y),dx,dy

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