Resolva as equações lineares dadas as condições iniciais:
x y^prime=x^2+3 y, t>0, y(2)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = x^2 + 3y,
sujeita à condição inicial y(2)=4, para x>0.
Este é um caso de equação linear em y. Vamos colocá-la na forma padrão
y' + p(x),y = q(x)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por x (válido em x>0) para obter a forma
y' - 3x,y = x
Aqui p(x) = -tfrac3x e q(x)=x.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(integral -tfrac3x,dxr) = exp(-3ln x) = x^-3

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^-3, temos
x^-3y' - 3x^-4y = x^-2,
isto é
l(x^-3yr)' = x^-2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-3y = integral x^-2,dx = -x^-1 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y,
y = x^3l(-x^-1+Cr) = -x^2 + C,x^3
Agora impomos a condição inicial y(2)=4:
4 = -2^2 + Ccdot 2^3 ;Longrightarrow; 4 = -4 + 8C ;Longrightarrow; 8C = 8 ;Longrightarrow; C = 1

Resposta

y(x) = -x^2 + x^3 = x^2(x-1)

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