Use um CAS para aproximar as interseções das curvas y=sen x e y=x / 2 e depois aproxime o volume do sólido no primeiro octante que está abaixo da superfície z=raiz1+x+y e acima da região do plano x y que é compreendido pelas curvas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar as interseções em ,x>=0 das curvas
y = sin x e y = x2,
e (2) calcular o volume do sólido no primeiro octante que fica abaixo da superfície
z = raiz1 + x + y
e acima da região R do plano xy limitada pelas duas curvas. O conteúdo envolve achar os pontos de interseção transcendentes (usando CAS) e montar uma dupla integral para obter o volume.

Passo 2

Para achar as interseções resolvemos
sin x = x2
Obviamente x=0 é solução. A outra solução não nula satisfaz
f(x)=sin x - x2=0
Usando um CAS (por exemplo o comando nsolve em Mathematica, Maple ou Python/Sympy), obtemos
x approx 1,8955

Passo 3

No primeiro quadrante, para 0<= x<= 1,8955, tem-se sin x>= x/2. Logo a região R é
R = l(x,y)mid 0 <= x <= 1,8955,;x2<= y <= sin xr

Passo 4

O volume é dado por
V = integral duplaRraiz1+x+y,dA =integralx=0^1,8955integraly=tfracx2^y=sin xraiz1+x+y;dy,dx
Integramos primeiro em y. Como
integralraiz1+x+y;dy =23(1+x+y)^3/2|y=x/2^y=sin x,
vem
V =23integral0^1,8955 l[(1+x+sin x)^3/2-(1+x+tfracx2)^3/2r],dx

Passo 5

Para avaliar numericamente usamos o CAS para aproximar
V approx 23integral0^1,8955 l[(1+x+sin x)^3/2-(1+x+tfracx2)^3/2r],dx
O CAS retorna, por exemplo,
V approx 0,68

Resposta

As interseções são em
x=0 e xapprox 1,8955,
e o volume aproximado do sólido é
Vapprox 0,68

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