Descreva o procedimento necessário para localizar e classificar os pontos críticos de uma função de várias variáveis. Explique de que forma os candidatos iniciais são obtidos tornando o gradiente igual a 0 e como o determinante da Matriz Hessiana é empregado para classificar se os pontos encontrados são valores de máximo, mínimo ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva, de forma didática e passo a passo, o procedimento para:
localizar os pontos críticos de uma função de várias variáveis (ou seja, os candidatos a máximos, mínimos e pontos de sela);
classificar esses pontos usando o gradiente (igualando-o a zero) e a Matriz Hessiana (usando o seu determinante/noção de definitude).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função é de várias variáveis (por exemplo, f(x,y) ou f(x_1,x_2,\dots,x_n)).
O critério inicial para achar candidatos é resolver \nabla f = \mathbf{0}.
A classificação envolve a Matriz Hessiana e seu determinante/definitude para decidir se cada ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 2
O que é o gradiente e por que ele nos dá candidatos a extremos (intuição):
Para uma função f de n variáveis, o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
Intuição: o gradiente aponta a direção de maior crescimento de f. Num ponto onde f tem um máximo ou mínimo interior, não existe direção local de crescimento ou decrescimento — logo o gradiente deve ser o vetor nulo.
Portanto, os pontos que satisfazem
\nabla f(\mathbf{x})=\mathbf{0}
são os candidatos (chamados de pontos críticos ou estacionários). Atenção: pontos onde algumas derivadas não existem ou pontos de fronteira também precisam de tratamento separado, mas os candidatos interiores vêm de \nabla f=0.
Passo 3
Como obter os candidatos na prática (passo a passo):
Escreva explícito o gradiente de f: calcule todas as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x_i}.
Se f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então H é simétrica (pela igualdade dos mistas: \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}).]
Passo 5
Por que a Hessiana classifica pontos (intuição via expansão de Taylor):
Para um ponto crítico \mathbf{x}^* com \nabla f(\mathbf{x}^*)=\mathbf{0}, a expansão de Taylor em torno de \mathbf{x}^* dá (usando \mathbf{h}=\mathbf{x}-\mathbf{x}^*):
A forma quadrática \frac{1}{2}\mathbf{h}^T H \mathbf{h} determina se f sobe em todas as direções (mínimo), desce em todas (máximo) ou sobe em algumas e desce em outras (sela).
Assim, a classificação reduz-se a analisar o sinal da forma quadrática associada a H(\mathbf{x}^*), isto é, a definitude da matriz Hessiana naquele ponto.
Passo 6
Caso típico: função de duas variáveis f(x,y) — teste com o determinante da Hessiana
onde f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, etc.
Defina o discriminante (determinante) da Hessiana:
D = \det(H) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.
Regras de classificação (no ponto crítico (x^*,y^*), avaliando as segundas derivadas nesse ponto):
Se D>0 e f_{xx}>0 então (x^*,y^*) é mínimo local.
Se D>0 e f_{xx}<0 então (x^*,y^*) é máximo local.
Se D<0 então (x^*,y^*) é ponto de sela.
Se D=0 o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo ou sela; é preciso analisar termos de ordem superior ou outra técnica).
Explicação curta do motivo: para 2\times2 a forma quadrática \mathbf{h}^T H \mathbf{h} pode ser analisada facilmente e o sinal da sua expressão leva às condições acima.]
Passo 7
Extensão a n variáveis: como classificar via Hessiana
Em dimensão n, a classificação exige determinar se H(\mathbf{x}^*) é:
positiva definida \Rightarrow mínimo local;
negativa definida \Rightarrow máximo local;
indefinida \Rightarrow ponto de sela;
semi-definida ou inconclusiva \Rightarrow preciso analisar além da segunda ordem.
Métodos práticos para verificar a definitude:
Verificar os autovalores de H:
Se todos os autovalores são >0\Rightarrow positiva definida.
Se todos os autovalores são <0\Rightarrow negativa definida.
Se alguns positivos e alguns negativos \Rightarrow indefinida.
Para matrizes de tamanho maior que 2, este é o critério mais direto, mas às vezes envolve cálculo de raízes de polinômios.
Critério de Sylvester (para matrizes simétricas):
Para positiva definida, todos os menores principais da matriz (os determinantes das submatrizes obtidas tomando os primeiros k renglões e colunas) devem ser positivos.
Para negativa definida, os sinais desses menores principais devem alternar: \det_1<0, \det_2>0, \det_3<0, e assim por diante (dependendo da convenção de índice). Observe que esse critério só é prático quando se consegue calcular esses determinantes facilmente.
Se a Hessiana for singular (autovalor zero) ou semi-definida, o teste de segunda ordem é inconclusivo e é necessário analisar termos superiores na expansão de Taylor ou aplicar outras técnicas (direções específicas, restrições, etc.).
Passo 8
Casos especiais e observações importantes para a prova
Pontos de fronteira/domínio: se a função está definida em um conjunto com fronteira, os extremos podem ocorrer na fronteira. Nesses casos, avalia-se as restrições (por exemplo, usar Lagrange multipliers para restrições ligadas).
Pontos onde derivadas não existem: um ponto crítico pode ocorrer onde \nabla f não está definido; tais pontos devem ser verificados separadamente.
Se D=0 (em 2 variáveis) ou Hessiana singular (em n variáveis), testar direções específicas: escolher vetores \mathbf{h} e verificar o sinal de \frac{1}{2}\mathbf{h}^T H \mathbf{h} ou examinar termos de ordem maior na expansão de f.
Sempre confirme que os pontos achados pertencem ao domínio da função.
Passo 9
Estratégia prática para fazer isso rápido e sem erro na prova
Calcule \nabla f com cuidado; escreva cada derivada parcial numa linha.
Resolva o sistema por eliminação/substituição; tente fatorar se aparecer polinômio comum.
Liste os candidatos e para cada um calcule todas as segundas derivadas e forme H.
Em duas variáveis use rapidamente D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2 e aplique as regras do Passo 6.
Em mais variáveis, se n pequeno (3 ou 4), o critério de Sylvester pode ser mais rápido que achar autovalores; para funções simples, os autovalores às vezes saem fáceis. Se for impossível decidir, declare que é inconclusivo e proponha analisar termos superiores.
Não esquecer de checar fronteira/derivadas inexistentes se o domínio exigir.
Passo 10
Exemplo 1 (função simples onde tudo funciona): f(x,y)=x^2+y^2
Gradiente:
\nabla f=(2x,2y).
Resolver \nabla f=\mathbf{0} dá 2x=0,\;2y=0 então candidato (0,0).
Determinante D=2\cdot2-2^2=0 — teste inconclusivo.
Observação: como f=(x+y)^2\ge0 e é zero quando y=-x, cada ponto da linha y=-x é na verdade um mínimo (mínimo “degenerado”). Para decidir isso precisamos reconhecer a forma quadrática ou reescrever f. Este exemplo mostra que quando D=0 convém examinar a forma explícita de f.]
Resposta
Calcular o gradiente \nabla f(\mathbf{x}) e resolver o sistema \nabla f(\mathbf{x})=\mathbf{0} para obter os pontos críticos candidatos.
Para cada candidato, calcular a Matriz Hessiana H(\mathbf{x}^*).
Em duas variáveis usar D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2: se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo; se D<0 então sela; se D=0 inconclusivo.
Em n variáveis verificar a definitude de H (autovalores todos positivos = mínimo; todos negativos = máximo; sinais mistos = sela). Usar autovalores ou o critério de Sylvester (menores principais) conforme for mais prático.
Quando Hessiana singular ou D=0, analisar termos de ordem superior ou estudar direções específicas; não esquecer de verificar fronteiras e pontos onde derivadas não existem.