Descreva as quádricas descritas pelas equações a seguir:
4 x^{2}+7 y^{2}-8 x+42 y-z+39=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação
4x^{2}+7y^{2}-8x+42y - z + 39 = 0
e pede que a identifiquemos. O conteúdo envolvido é a classificação de superfícies quádricas, usando completamento de quadrados para obter a forma canônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e y para completar quadrados:
4\bigl(x^{2}-2x\bigr) \;+\;7\bigl(y^{2}+6y\bigr)\;-\;z\;+\;39\;=\;0.

Passo 3

Calculamos
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \quad y^{2}+6y = (y+3)^{2}-9,
substituímos e simplificamos:
4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+7\bigl((y+3)^{2}-9\bigr)-z+39=0
4(x-1)^{2}-4 +7(y+3)^{2}-63 -z +39=0
4(x-1)^{2}+7(y+3)^{2}-z -28=0 \quad\Longrightarrow\quad z = 4(x-1)^{2} + 7(y+3)^{2} -28.

Passo 4

A equação na forma
z = 4(x-1)^{2} + 7(y+3)^{2} -28
é a de um paraboloide elíptico com eixo paralelo ao eixo z. O vértice está em (1,-3,-28) e as interseções com planos z=\text{const} são elipses centradas em (1,-3).

Resposta

É um paraboloide elíptico com vértice em (1,-3,-28) e eixo paralelo ao eixo z.

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