Descreva as quádricas descritas pelas equações a seguir:
x^{2}-2 x+y^{2}-4 y+z^{2}-20=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície em \mathbb{R}^3 definida por
x^{2}-2x+y^{2}-4y+z^{2}-20=0
e pede que a descrevamos (isto é, que identifiquemos de que quádricas se trata). Para isso, vamos usar o método de completar quadrados, obtendo a forma canônica da superfície.

Passo 2

Começamos completando o quadrado nos termos que envolvem x e y:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original, temos
(x-1)^{2}-1 \;+\;(y-2)^{2}-4 \;+\;z^{2} \;-\;20 \;=\;0
ou seja
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + z^{2} \;-\;25 \;=\;0.
Isolando os quadrados, chega-se à forma canônica
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + z^{2} \;=\;25.

Passo 4

A equação
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-0)^{2} = 5^{2}
é exatamente a forma canônica de uma esfera de centro
C = (1,\,2,\,0)
e de raio
r = 5.

Resposta

A superfície é uma esfera de centro (1,2,0) e raio 5.

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