Esboce as cônicas descritas pelas equações a seguir:
25 y^{2}+36 x-150 y+144=0.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da cônica dada por
25y^{2}+36x-150y+144=0.
O conteúdo aqui é identificação e esboço de parábola através de completar o quadrado.

Passo 2

Classificamos a cônica. Na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 temos A=0, B=0, C=25.
O discriminante B^{2}-4AC=0, logo é uma parábola.

Passo 3

Para ver sua orientação, isolamos x:
36x = -25y^{2} +150y -144
x = -\frac{25}{36}\,y^{2} + \frac{150}{36}\,y - \frac{144}{36}\,.

Passo 4

Fatoramos -\tfrac{25}{36} e completamos o quadrado em y:
x = -\frac{25}{36}\bigl(y^{2}-6y\bigr) -4 = -\frac{25}{36}\bigl(y^{2}-6y+9-9\bigr)-4
x = -\frac{25}{36}\,(y-3)^{2} + \frac{25}{36}\cdot9 -4 = -\frac{25}{36}\,(y-3)^{2} + \frac{9}{4}\,.

Passo 5

Escrevendo na forma canônica
(y-3)^{2} = -\frac{36}{25}\Bigl(x - \tfrac{9}{4}\Bigr),
vemos que é uma parábola de vértice \bigl(\tfrac{9}{4},3\bigr) e que abre para a esquerda (coeficiente negativo em x).

Passo 6

Dos parâmetros canônicos (y-k)^{2}=4p(x-h) com 4p=-\tfrac{36}{25} obtemos p=-\tfrac{9}{25}.
Assim:
foco em \bigl(h+p,\;k\bigr)=\bigl(\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{25},\;3\bigr)=\bigl(\tfrac{189}{100},3\bigr),
diretriz x = h - p = \tfrac{9}{4} + \tfrac{9}{25} = \tfrac{261}{100},
e eixo de simetria y=3.

Resposta

Parábola de vértice em \bigl(\tfrac{9}{4},3\bigr), eixo de simetria y=3, abre para a esquerda, foco em \bigl(\tfrac{189}{100},3\bigr) e diretriz x=\tfrac{261}{100}.

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