Esboce as cônicas descritas pelas equações a seguir:
16 x^{2}-32 x-24 y+21=0.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva dada por
16x^{2}-32x-24y+21=0.
Conteúdo: reconhecimento de cônica, completar o quadrado em x e passagem à forma padrão de parábola.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e completamos o quadrado:
16\bigl(x^{2}-2x\bigr)-24y+21=0
16\bigl[(x-1)^{2}-1\bigr]-24y+21=0
16(x-1)^{2}-16-24y+21=0
16(x-1)^{2}-24y+5=0
24y=16(x-1)^{2}+5
y=\frac{16}{24}(x-1)^{2}+\frac{5}{24} =\tfrac{2}{3}(x-1)^{2}+\tfrac{5}{24}.

Passo 3

Como só aparece (x-1)^{2}, é uma parábola com eixo vertical.
Coeficiente de (x-1)^{2} é positivo, logo abre para cima.
Vértice: \bigl(h,k\bigr)=(1,\tfrac{5}{24}).

Passo 4

Passamos para a forma
(x-1)^{2}=4p\bigl(y-\tfrac{5}{24}\bigr).
Da equação y-\tfrac{5}{24}=\tfrac{2}{3}(x-1)^{2} obtemos
(x-1)^{2}=\tfrac{3}{2}\bigl(y-\tfrac{5}{24}\bigr),
então 4p=\tfrac{3}{2} e p=\tfrac{3}{8}.

Passo 5

Foco: \bigl(1,\tfrac{5}{24}+p\bigr)=(1,\tfrac{5}{24}+\tfrac{3}{8})=(1,\tfrac{7}{12}).
Diretriz: y=k-p=\tfrac{5}{24}-\tfrac{3}{8}=-\tfrac{1}{6}.
Latus rectum: comprimento 4p=\tfrac{3}{2}; seus extremos satisfazem y=7/12 e (x-1)^{2}=4p\,\bigl(y-k\bigr)=4p^{2}=(3/8)^{2}=\tfrac{9}{64}, logo x-1=\pm\tfrac{3}{8} e pontos \bigl(1\pm\tfrac{3}{8},\,\tfrac{7}{12}\bigr).

Passo 6

Esboço:
– Desenhar a reta de simetria x=1.
– Marcar o vértice \bigl(1,\tfrac{5}{24}\bigr).
– Marcar o foco \bigl(1,\tfrac{7}{12}\bigr) e a diretriz y=-\tfrac{1}{6}.
– Desenhar a parábola abrindo para cima, passando pelos extremos do latus rectum \bigl(1\pm\tfrac{3}{8},\tfrac{7}{12}\bigr).

Resposta

Parábola com:
vértice \bigl(1,\tfrac{5}{24}\bigr),
eixo de simetria x=1,
abre para cima,
foco em \bigl(1,\tfrac{7}{12}\bigr),
diretriz y=-\tfrac{1}{6},
latus rectum de comprimento \tfrac{3}{2} com extremos em \bigl(1\pm\tfrac{3}{8},\tfrac{7}{12}\bigr).

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