TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral1^4 integral0^1(x^2+raizy) sen(x^2 y^2) d x d y <= 9

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
I=integral1^4integral0^1l(x^2+raizyr)sinl(x^2y^2r),dx,dy<= 9
O conteúdo envolvido é o teorema de comparação de integrais duplas e o fato de que sin t<=1 para todo t. Vamos usar esse máximo de sin para comparar I com uma integral mais simples.

Passo 2

Como sinl(x^2y^2r)<=1, podemos dizer que, ponto a ponto,
l(x^2+raizyr)sinl(x^2y^2r) <= x^2+raizy
Além disso, mesmo que sin seja às vezes negativo, isso só diminui I, então definitivamente
I<= integral1^4integral0^1l(x^2+raizyr),dx,dy

Passo 3

Vamos computar a integral de comparação em duas etapas. Primeiro em x:
integral0^1l(x^2+raizyr),dx =integral0^1x^2,dx+integral0^1raizy,dx =13 + raizycdot(1-0) =13 + raizy
Em seguida em y:
integral1^4l(13+raizyr),dy =integral1^413,dy + integral1^4y^1/2,dy =4-13 + 23l(4^3/2-1^3/2r)

Passo 4

Calculando os termos numéricos:
4-13=1, 23l(4^3/2-1r) =23(8-1) =143
Logo
integral1^4integral0^1l(x^2+raizyr),dx,dy =1+143 =173approx5,67
Assim obtemos
I<=173<9

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois
integral1^4integral0^1l(x^2+raizyr)sinl(x^2y^2r),dx,dy <= 173<9

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