Encontre todas as coordenadas polares possíveis para o ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a coordenada polar
do ponto
e pede: "encontrar todas as coordenadas polares possíveis para o ponto
".
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Uma representação polar do ponto:
. - Não há outras restrições sobre o intervalo de
nem sobre o sinal de .
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma coordenada polar e quais representações são equivalentes (aulas rápidas e necessárias para a prova).
Definição e conversão para cartesiano:
onde
é uma coordenada polar:
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo (medido a partir do eixo
positivo). Explicando devagar:
diz “o quanto eu saio da origem” e
diz “em que direção eu saio”.
Equivalências importantes (por que há infinitas representações):
- Girar o ângulo em
não muda o ponto, portanto
Isto é porque
e
.
- Podemos também trocar o sinal de
se somarmos ao ângulo:
Intuição: ir no sentido oposto (mudar
para
) e virar o ângulo em
aponta para o mesmo lugar.
Essas duas regras geram todas as representações equivalentes de um mesmo ponto em coordenadas polares.
Passo 3
Calcular as coordenadas cartesianas do ponto dado para saber exatamente qual ponto no plano estamos representando (isso ajuda a checar depois):
Logo o ponto
em coordenadas cartesianas é
. Qualquer representação polar que gerar
será válida.
Passo 4
Aplicar as equivalências para listar todas as representações:
Primeira família (mantendo
e mudando o ângulo por múltiplos de
):
Verificação rápida: para qualquer
,
então todos esses pares representam
.
Segunda família (usar a troca de sinal de
): aplicando
com
e
:
Renomeando o índice (por exemplo
), isto é equivalente a
Verificação: para qualquer
,
portanto também representam
.
Observação: as duas famílias já cobrem todas as possibilidades geradas pelas regras básicas. Não existem outras formas “novas” além de combinar esses deslocamentos angulares por múltiplos de
e possivelmente trocar o sinal de
acompanhado de um acréscimo de
.
Passo 5
Dar alguns exemplos concretos (para treinar e memorizar):
- Tomando
na primeira família: (a dada). - Tomando
na primeira família: (mesmo ponto). - Tomando
na segunda família: . - Tomando
na segunda família: (mesmo que em ângulo).
Isso mostra como aparecem infinitas representações, algumas com
positivo e outras com
negativo.