Encontre todas as coordenadas polares possíveis para o ponto P(1, \pi).

Passo 1

O enunciado dá a coordenada polar (1,\pi) do ponto P e pede: "encontrar todas as coordenadas polares possíveis para o ponto P(1,\pi)".
Informações relevantes fornecidas:
  • Uma representação polar do ponto: (r,\theta)=(1,\pi).
  • Não há outras restrições sobre o intervalo de \theta nem sobre o sinal de r.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma coordenada polar e quais representações são equivalentes (aulas rápidas e necessárias para a prova).
Definição e conversão para cartesiano:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde (r,\theta) é uma coordenada polar: r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo (medido a partir do eixo x positivo). Explicando devagar: r diz “o quanto eu saio da origem” e \theta diz “em que direção eu saio”.
Equivalências importantes (por que há infinitas representações):
  1. Girar o ângulo em 2\pi não muda o ponto, portanto
(r,\theta)\equiv (r,\theta+2k\pi)\quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.
Isto é porque \cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta e \sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta.
  1. Podemos também trocar o sinal de r se somarmos \pi ao ângulo:
(r,\theta)\equiv (-r,\theta+\pi)\quad\text{(e, em geral, }(-r,\theta+\pi+2k\pi)\text{)}.
Intuição: ir no sentido oposto (mudar r para -r) e virar o ângulo em \pi aponta para o mesmo lugar.
Essas duas regras geram todas as representações equivalentes de um mesmo ponto em coordenadas polares.

Passo 3

Calcular as coordenadas cartesianas do ponto dado para saber exatamente qual ponto no plano estamos representando (isso ajuda a checar depois):
x = 1\cdot\cos\pi = \cos\pi = -1, \qquad y = 1\cdot\sin\pi = \sin\pi = 0.
Logo o ponto P em coordenadas cartesianas é (-1,0). Qualquer representação polar que gerar (-1,0) será válida.

Passo 4

Aplicar as equivalências para listar todas as representações:
Primeira família (mantendo r=1 e mudando o ângulo por múltiplos de 2\pi):
(1,\pi+2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: para qualquer k,
x = 1\cos(\pi+2k\pi)=\cos\pi=-1,\qquad y=1\sin(\pi+2k\pi)=\sin\pi=0,
então todos esses pares representam (-1,0).
Segunda família (usar a troca de sinal de r): aplicando (r,\theta)\equiv(-r,\theta+\pi) com r=1 e \theta=\pi:
(-1,\pi+\pi+2k\pi)=(-1,2(k+1)\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.
Renomeando o índice (por exemplo m=k+1), isto é equivalente a
(-1,2m\pi),\quad m\in\mathbb{Z}.
Verificação: para qualquer m,
x = -1\cos(2m\pi)=-1\cdot1=-1,\qquad y=-1\sin(2m\pi)=-1\cdot0=0,
portanto também representam (-1,0).
Observação: as duas famílias já cobrem todas as possibilidades geradas pelas regras básicas. Não existem outras formas “novas” além de combinar esses deslocamentos angulares por múltiplos de 2\pi e possivelmente trocar o sinal de r acompanhado de um acréscimo de \pi.

Passo 5

Dar alguns exemplos concretos (para treinar e memorizar):
  • Tomando k=0 na primeira família: (1,\pi) (a dada).
  • Tomando k=-1 na primeira família: (1,-\pi) (mesmo ponto).
  • Tomando m=0 na segunda família: (-1,0).
  • Tomando m=1 na segunda família: (-1,2\pi) (mesmo que (-1,0) em ângulo).
Isso mostra como aparecem infinitas representações, algumas com r positivo e outras com r negativo.

Resposta

(1,\pi+2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}
(-1,2k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}

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