Descreva os seguintes ideais principais:
\langle\overline{2}\rangle em \mathbb{Z}_{6};

Passo 1

O enunciado pede para descrever o ideal principal \langle \overline{2}\rangle no anel \mathbb{Z}_{6}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}. O conteúdo envolvido é o de ideal gerado por um elemento em um anel quociente: são todos os múltiplos desse elemento.

Passo 2

Por definição,
\langle \overline{2}\rangle =\{\overline{2}\cdot\overline{a}\mid \overline{a}\in\mathbb{Z}_{6}\}.
Vamos calcular \overline{2}\cdot\overline{a} para \overline{a}=\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{5}:
\overline{2}\cdot\overline{0}=\overline{0},\quad \overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{2},\quad \overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{4},
\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=\overline{0},\quad \overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{8}=\overline{2},\quad \overline{2}\cdot\overline{5}=\overline{10}=\overline{4}.
Perceba que os únicos resultados distintos são \overline{0},\overline{2},\overline{4}.

Resposta

\langle \overline{2}\rangle = \{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\}.

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