Obtenha a base ortonormal de \mathbb{R}^{3} pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base \{u, v, w\}, sendo u=(1,1,1), v=(1,2,1) e w=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para construir uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} a partir da base \{u,v,w\}, usando o processo de Gram–Schmidt. O conteúdo envolve ortonormalização de vetores em \mathbb{R}^{3}, ou seja, gerar vetores mutuamente ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Começamos com u=(1,1,1). Primeiro calculamos a norma de u:
\|u\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{3}.
Então o primeiro vetor ortonormal é
e_{1} = \frac{u}{\|u\|} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1).

Passo 3

Agora orthogonalizamos v=(1,2,1) em relação a e_{1}. Calculamos o produto interno
\langle v,e_{1}\rangle = (1,2,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) = \frac{1+2+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}.
A projeção de v sobre e_{1} é
\mathrm{proj}_{e_{1}}(v) = \langle v,e_{1}\rangle\,e_{1} = \frac{4}{\sqrt{3}}\;\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) = \frac{4}{3}\,(1,1,1).
Definimos
a_{2} = v - \mathrm{proj}_{e_{1}}(v) = (1,2,1) - \frac{4}{3}(1,1,1) = \Bigl(-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{1}{3}\Bigr).
A norma de a_{2} é
\|a_{2}\| = \sqrt{\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2} + \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.
Logo
e_{2} = \frac{a_{2}}{\|a_{2}\|} = \frac{1}{\sqrt{6}}\,(-1,2,-1).

Passo 4

Finalmente orthogonalizamos w=(0,0,1) em relação a e_{1} e e_{2}.
Primeiro
\langle w,e_{1}\rangle = (0,0,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) = \frac{1}{\sqrt{3}},
\mathrm{proj}_{e_{1}}(w) = \frac{1}{\sqrt{3}}\,e_{1} = \frac{1}{3}(1,1,1).
Depois
\langle w,e_{2}\rangle = (0,0,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1) = -\frac{1}{\sqrt{6}},
\mathrm{proj}_{e_{2}}(w) = -\frac{1}{\sqrt{6}}\,e_{2} = \frac{1}{6}(1,-2,1).
Definimos
a_{3} = w - \mathrm{proj}_{e_{1}}(w) - \mathrm{proj}_{e_{2}}(w) = (0,0,1) - \frac{1}{3}(1,1,1) - \frac{1}{6}(1,-2,1) = \Bigl(-\tfrac{1}{2},\,0,\,\tfrac{1}{2}\Bigr).
A norma de a_{3} é
\|a_{3}\| = \sqrt{\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2} + 0^{2} + \Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
e_{3} = \frac{a_{3}}{\|a_{3}\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(-1,0,1).

Resposta

Uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} obtida é
e_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad e_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1),\quad e_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1).

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