Verifique se a função f: A \rightarrow B é um homomorfismo e determine o núcleo de cada um, nos seguintes casos: A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{Z}_{n}, f(x)=\bar{x}
Passo 1
O enunciado define
A = \mathbb{Z} e B = \mathbb{Z}_{n} como grupos abelianos sob adição, e a aplicação
Pede-se verificar se f é homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, determinar o núcleo. Para isso usaremos as definições de homomorfismo (preservar a lei de grupo) e de núcleo (préeimagem do elemento neutro de B).
Passo 2
Verificação da propriedade de homomorfismo: para quaisquer x,y\in\mathbb{Z},
f(x+y)=\overline{x+y}
por definição de classe de resto. Mas em \mathbb{Z}_{n} temos
\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}=f(x)+f(y).
Logo
f(x+y)=f(x)+f(y),
isto é, f preserva a operação de adição e portanto é homomorfismo de grupos abelianos.