Verifique se a função f: A \rightarrow B é um homomorfismo e determine o núcleo de cada um, nos seguintes casos:
A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{Z}_{n}, f(x)=\bar{x}

Passo 1

O enunciado define
A = \mathbb{Z} e B = \mathbb{Z}_{n} como grupos abelianos sob adição, e a aplicação
f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_{n}, \quad f(x)=\bar{x}
Pede-se verificar se f é homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, determinar o núcleo. Para isso usaremos as definições de homomorfismo (preservar a lei de grupo) e de núcleo (préeimagem do elemento neutro de B).

Passo 2

Verificação da propriedade de homomorfismo: para quaisquer x,y\in\mathbb{Z},
f(x+y)=\overline{x+y}
por definição de classe de resto. Mas em \mathbb{Z}_{n} temos
\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}=f(x)+f(y).
Logo
f(x+y)=f(x)+f(y),
isto é, f preserva a operação de adição e portanto é homomorfismo de grupos abelianos.

Passo 3

Cálculo do núcleo de f:
\ker(f)=\{\,x\in\mathbb{Z}\mid f(x)=\bar{0}\,\} =\{\,x\in\mathbb{Z}\mid \bar{x}=\bar{0}\,\}.
A condição \bar{x}=\bar{0} em \mathbb{Z}_{n} equivale a dizer que n divide x. Assim
\ker(f)=\{\,x\in\mathbb{Z}\mid n\mid x\,\}=n\mathbb{Z}.

Resposta

A aplicação f é um homomorfismo de grupos e
\ker(f)=n\mathbb{Z}.

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