Descreva os seguintes ideais principais:
\langle\overline{3}\rangle \mathrm{em} \mathbb{Z}_{8}

Passo 1

O enunciado pede para descrever o ideal principal gerado por \overline{3} no anel \mathbb{Z}_{8}.
Conteúdo: teoria de ideais em anéis comutativos e relação com elementos invertíveis. Vamos usar que, em \mathbb{Z}_{n}, o gerador \overline{a} gera todo o anel se e somente se \gcd(a,n)=1.

Passo 2

Calcular \gcd(3,8).
\gcd(3,8)=1, logo \overline{3} é unidade em \mathbb{Z}_{8}. De fato,
\overline{3}\cdot\overline{3}=\overline{9}=\overline{1},
então \overline{3}^{-1}=\overline{3}.

Passo 3

Um ideal principal gerado por uma unidade é o anel todo, pois para qualquer \overline{x}\in\mathbb{Z}_{8} temos
\overline{x} = \overline{x}\cdot\overline{1} = \overline{x}\cdot(\overline{3}\cdot\overline{3}) = (\overline{x}\,\overline{3})\cdot\overline{3}\;\in\;\langle\overline{3}\rangle.
Assim
\langle\overline{3}\rangle = \mathbb{Z}_{8}.

Resposta

\langle\overline{3}\rangle = \mathbb{Z}_{8}.

Exercícios relacionados