Seja Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y, 3 y).
a) Calcule o polinômio característico de T ;
b) Calcule os autovalores e os subespaços próprios de T ;
c) Determine uma base de \mathbb{R}^{2} constituída por autovetores de T . Qual é a representação matricial de T nesta base?
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (\,x + 2y,\;3y\,).
Queremos:
a) o polinômio característico de T,
b) os autovalores e subespaços próprios (autovetores) de T,
c) uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores e a matriz de T nessa base.
Vamos usar a matriz de T na base canônica, a definição de polinômio característico \det(A - \lambda I) e a resolução de (A-\lambda I)v=0.
Passo 2
Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix},
pois T(x,y) = (1\cdot x + 2\cdot y,\;0\cdot x + 3\cdot y).
a) \displaystyle \chi_T(\lambda)=(1-\lambda)(3-\lambda)=\lambda^2 - 4\lambda + 3.
b) Os autovalores são \lambda_1=1 com E_{1}=\Span\{(1,0)\} e \lambda_2=3 com E_{3}=\Span\{(1,1)\}.
c) Uma base de autovetores é \{(1,0),(1,1)\} e a matriz de T nessa base é