Seja Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y, 3 y).
a) Calcule o polinômio característico de T ;
b) Calcule os autovalores e os subespaços próprios de T ;
c) Determine uma base de \mathbb{R}^{2} constituída por autovetores de T . Qual é a representação matricial de T nesta base?

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (\,x + 2y,\;3y\,).
Queremos:
a) o polinômio característico de T,
b) os autovalores e subespaços próprios (autovetores) de T,
c) uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores e a matriz de T nessa base.
Vamos usar a matriz de T na base canônica, a definição de polinômio característico \det(A - \lambda I) e a resolução de (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix},
pois T(x,y) = (1\cdot x + 2\cdot y,\;0\cdot x + 3\cdot y).

Passo 3

O polinômio característico de A é
\chi_A(\lambda)=\det\bigl(A - \lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)(3-\lambda).

Passo 4

As raízes de \chi_A(\lambda)=0 são os autovalores:
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3.

Passo 5

Para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0:
Para \lambda_1=1:
A - I = \begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 2\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0&2\\\ 0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \implies y=0,
portanto o subespaço próprio é
E_{1} = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} = \Span\{(1,0)\}.
Para \lambda_2=3:
A - 3I = \begin{pmatrix}-2 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad -2x + 2y = 0 \implies y = x,
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E_{3} = \{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \Span\{(1,1)\}.

Passo 6

Como os autespaços são de dimensão 1 e gerados por vetores linearmente independentes (1,0) e (1,1), podemos escolher a base
\mathcal{B} = \bigl\{\,v_1=(1,0),\;v_2=(1,1)\bigr\}.

Passo 7

Nessa base \mathcal{B}, cada v_i é autovetor:
T(v_1)=1\cdot v_1 e T(v_2)=3\cdot v_2.
Logo a matriz de T em \mathcal{B} é diagonal com entradas 1 e 3:
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.

Resposta

a) \displaystyle \chi_T(\lambda)=(1-\lambda)(3-\lambda)=\lambda^2 - 4\lambda + 3.
b) Os autovalores são \lambda_1=1 com E_{1}=\Span\{(1,0)\} e \lambda_2=3 com E_{3}=\Span\{(1,1)\}.
c) Uma base de autovetores é \{(1,0),(1,1)\} e a matriz de T nessa base é
\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.

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