Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico gerado por
no grupo aditivo
.
Conteúdo: definição de subgrupo cíclico em grupos aditivos.
Conteúdo: definição de subgrupo cíclico em grupos aditivos.
Passo 2
Em qualquer grupo aditivo, o subgrupo cíclico gerado por um elemento
é dado por
Isso vem da ideia de somar
consigo mesmo
vezes (se
), subtrair (se
) ou obter o neutro (se
).
Passo 3
Aplicando essa definição ao elemento
, temos
Aqui estamos somando
consigo mesmo
vezes.
Passo 4
Note que, ao variar
por todos os inteiros,
descreve exatamente todos os múltiplos de
, ou seja,
Esse conjunto é o subgrupo dos números pares em
.