Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
lang<=-2rang<= em(Z,+).

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico gerado por -2 no grupo aditivo (Z,+).
Conteúdo: definição de subgrupo cíclico em grupos aditivos.

Passo 2

Em qualquer grupo aditivo, o subgrupo cíclico gerado por um elemento a é dado por
lang<= arang<= = n,a mid ninZ
Isso vem da ideia de somar a consigo mesmo n vezes (se n>0), subtrair (se n<0) ou obter o neutro (se n=0).

Passo 3

Aplicando essa definição ao elemento a=-2, temos
lang<= -2rang<= = ncdot(-2)mid ninZ = -2nmid ninZ
Aqui estamos somando -2 consigo mesmo n vezes.

Passo 4

Note que, ao variar n por todos os inteiros, -2n descreve exatamente todos os múltiplos de 2, ou seja,
-2nmid ninZ = 2mmid minZ
Esse conjunto é o subgrupo dos números pares em Z.

Resposta

lang<= -2rang<= = n(-2)mid ninZ = 2Z = dots,-4,-2,0,2,4,dots

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