Sejam
e
.
Mostre que
é subgrupo de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é subgrupo de
.
O conteúdo aqui é teoria de grupos abelianos: basta verificar que é não\mbox{-}vazio, está fechado sob adição e contém inversos.
O conteúdo aqui é teoria de grupos abelianos: basta verificar que
Passo 2
Verificamos que
é não\mbox{-}vazio e contém a identidade. Note que
e como
, temos
. Logo, a identidade de
está em
.
Passo 3
Fechamento sob adição. Tomemos dois elementos quaisquer de
, digamos
com
. Então
Como
e
são inteiros, segue que
. Portanto
é fechado em relação à soma.
Passo 4
Existência de inversos. Seja um elemento genérico
Então seu inverso aditivo em
é
Como
e
ainda são inteiros, concluímos que
.
Passo 5
Juntando os resultados:
é não\mbox{-}vazio, fechado sob adição e contém inversos aditivos. Assim, pelos critérios de subgrupo,
é subgrupo de
.