Sejam G=2^m 5^n mid m, n in Z e J=m+n i mid m, n in Z.
Mostre que (J,+) é subgrupo de (C,+).

Passo 1

O enunciado define
J = ,m + n,i mid m,ninZ
e pede para mostrar que (J,+) é subgrupo de (C,+).
O conteúdo aqui é teoria de grupos abelianos: basta verificar que J é não\mbox{-}vazio, está fechado sob adição e contém inversos.

Passo 2

Verificamos que J é não\mbox{-}vazio e contém a identidade. Note que
0 = 0 + 0,i
e como 0,0inZ, temos 0in J. Logo, a identidade de (C,+) está em J.

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos dois elementos quaisquer de J, digamos
z1 = m1 + n1,i, z2 = m2 + n2,i,
com m1,n1,m2,n2inZ. Então
z1 + z2 = (m1 + m2) + (n1 + n2),i
Como m1+m2 e n1+n2 são inteiros, segue que z1+z2in J. Portanto J é fechado em relação à soma.

Passo 4

Existência de inversos. Seja um elemento genérico
z = m + n,i in J
Então seu inverso aditivo em (C,+) é
-,z = -m + (-n),i
Como -m e -n ainda são inteiros, concluímos que -zin J.

Passo 5

Juntando os resultados: J é não\mbox{-}vazio, fechado sob adição e contém inversos aditivos. Assim, pelos critérios de subgrupo, (J,+) é subgrupo de (C,+).

Resposta

(J,+) é subgrupo de (C,+).

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