Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
lang<=-12rang<= em(Q^*, cdot).

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico gerado por -tfrac12 no grupo l(Q^*,cdotr).
Conteúdo: definição de subgrupo cíclico em um grupo multiplicativo e manipulação de potências.

Passo 2

Por definição, o subgrupo cíclico gerado por um elemento g num grupo multiplicativo é
lang<= grang<==g^nmid ninZ
Logo,
lang<= -tfrac12rang<= =l(-tfrac12)^n mid ninZr

Passo 3

Vamos simplificar (-tfrac12)^n. Temos
(-tfrac12)^n =(-1)^ncdot2^-n
Para n>=0 isto são potências positivas de 2^-1, e para n<0 equivalem a potências positivas de 2.

Passo 4

Reescrevendo em termos de um único parâmetro k=-n, nota-se que os sinais vêm de (-1)^n. De fato
(-1)^n2^-n:ninZ =pm2^k: kinZ

Resposta

lang<= -tfrac12rang<= =l(-tfrac12)^n : ninZr =(-1)^n2^-n:ninZ =pm2^k: kinZ

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