Sejam
e
.
Mostre que
definida por
é um isomorfismo de
em
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o grupo multiplicativo
e o grupo aditivo
,
e pede para mostrar que
e o grupo aditivo
e pede para mostrar que
é um isomorfismo.
Conteúdo: isomorfismo de grupos, isto é, verificar que é homomorfismo, injetiva e sobrejetiva.
Conteúdo: isomorfismo de grupos, isto é, verificar que
Passo 2
Mostramos que
é homomorfismo, ou seja, preserva a operação:
sejam e
em
. Então
sejam
logo
Também
, de modo que
leva identidade em identidade.
Passo 3
Prova de injetividade: considere
. Se
satisfaz
, então
e
. Logo
, a identidade. Assim
é trivial e
é injetiva.
Passo 4
Prova de sobrejetividade: seja um elemento arbitrário de
, digamos
. Então
mostrando que todo
tem pré-imagem em
. Logo
é sobrejetiva.