Sejam G=2^m 5^n mid m, n in Z e J=m+n i mid m, n in Z.
Mostre que f: G longrightarrow J definida por f(2^x 5^y)=x+y i é um isomorfismo de G em J.

Passo 1

O enunciado define o grupo multiplicativo
,G=2^m5^nmid m,ninZ
e o grupo aditivo
,J=m+n,imid m,ninZ,
e pede para mostrar que
fcolon Glongrightarrow J, fl(2^x5^yr)=x+y,i
é um isomorfismo.
Conteúdo: isomorfismo de grupos, isto é, verificar que f é homomorfismo, injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

Mostramos que f é homomorfismo, ou seja, preserva a operação:
sejam a=2^x5^y e b=2^x'5^y' em G. Então
acdot b =2^x5^ycdot2^x'5^y' =2^x+x'5^y+y',
logo
f(acdot b) =fl(2^x+x'5^y+y'r) =(x+x')+(y+y'),i =(x+y,i)+(x'+y',i) =f(a)+f(b)
Também f(1)=f(2^0 5^0)=0+0,i=0, de modo que f leva identidade em identidade.

Passo 3

Prova de injetividade: considere ker f=gin Gmid f(g)=0. Se
,g=2^x5^y satisfaz f(g)=x+y,i=0, então x=0 e y=0. Logo g=2^0 5^0=1, a identidade. Assim ker f é trivial e f é injetiva.

Passo 4

Prova de sobrejetividade: seja um elemento arbitrário de J, digamos m+n,i. Então
fl(2^m5^nr) =m+n,i,
mostrando que todo m+n,i tem pré-imagem em G. Logo f é sobrejetiva.

Resposta

f é bijetora e homomorfismo, portanto um isomorfismo de G em J.

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