Descreva, séries de potências, as seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}} \quad centrada em c=0

Passo 1

O enunciado pede para descrever, na forma de séries de potências e centrada em c=0, a função
f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}.
Informações dadas:
\text{função: }f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}},\qquad\text{centro: }c=0.çã
O que precisamos entregar: uma série de potências (Maclaurin) que represente f(x) e a região (raio/intervalo) onde essa série converge.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: a série geométrica. A fórmula básica é
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}\qquad\text{para }|r|<1.
Explicando isso de maneira simples: a soma parcial S_N=1+r+\dots+r^{N} satisfaz (1-r)S_N=1-r^{N+1}. Fazendo N\to\infty e se |r|<1 então r^{N+1}\to0, restando (1-r)S=1, ou seja S=1/(1-r). Aqui r é o “razão” da progressão geométrica; o resultado vale somente quando os termos vão a zero, isto é |r|<1.

Passo 3

Reescrevemos a função de forma que possamos usar a série geométrica. Observamos:
\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}.
Então podemos identificar r=-x^{2} e aplicar a série geométrica para \frac{1}{1+x^{2}}, desde que |-x^{2}|<1.

Passo 4

Aplicando a série geométrica com r=-x^{2} obtemos (válido quando |-x^{2}|<1):
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
Aqui cada termo é explicado: (-x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}. A condição de validade |-x^{2}|<1 é equivalente a |x|<1.

Passo 5

Agora multiplicamos termo a termo por x^{3} (soma de séries geométricas permite multiplicar por fator polinomial):
f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}=x^{3}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+3}.
Isto é uma série de potências centrada em 0. Para ficar íntimo com os primeiros termos, escrevemos alguns:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+3}=x^{3}-x^{5}+x^{7}-x^{9}+\cdots.
Cada termo tem a forma (-1)^{n}x^{2n+3}, ou seja potências ímpares a partir de x^{3} com sinais alternados.

Passo 6

Determinação do raio de convergência. Da aplicação direta da série geométrica temos a condição |-x^{2}|<1, logo
|x|<1.
Isso significa que o raio de convergência é R=1. Alternativamente, poderíamos usar o teste da razão sobre o termo geral a_{n}=(-1)^{n}x^{2n+3} e chegar ao mesmo R=1.

Passo 7

Análise rápida nos endpoints x=\pm1 (para ver se a série converge na fronteira):
  • Para x=1: a série vira \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}1^{2n+3}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}, cujos termos não tendem a 0, portanto diverge.
  • Para x=-1: a série vira \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(-1)^{2n+3}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+3}, também composta por termos de módulo 1 que não tendem a 0, logo diverge.
    Conclusão: a série converge estritamente para |x|<1 e diverge em x=\pm1.

Passo 8

Resumo final do procedimento que você pode usar na prova: sempre que vir uma razão do tipo 1/(1+\text{coisa}) ou 1/(1-\text{coisa}), tente reconhecer uma série geométrica substituindo r=\pm(\text{coisa}). Depois multiplique por qualquer fator polinomial na frente (aqui x^{3}). Verifique a condição |r|<1 para obter o raio/intervalo de convergência e cheque os endpoints separadamente.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+3}=x^{3}-x^{5}+x^{7}-x^{9}+\cdots
\text{Raio de convergência: }R=1\quad\text{(converge para }|x|<1\text{, diverge em }x=\pm1\text{).}ê

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