Descreva, séries de potências, as seguintes funções:
centrada em
Passo 1
O enunciado pede para descrever, na forma de séries de potências e centrada em
, a função
Informações dadas:
O que precisamos entregar: uma série de potências (Maclaurin) que represente
e a região (raio/intervalo) onde essa série converge.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: a série geométrica. A fórmula básica é
Explicando isso de maneira simples: a soma parcial
satisfaz
. Fazendo
e se
então
, restando
, ou seja
. Aqui
é o “razão” da progressão geométrica; o resultado vale somente quando os termos vão a zero, isto é
.
Passo 3
Reescrevemos a função de forma que possamos usar a série geométrica. Observamos:
Então podemos identificar
e aplicar a série geométrica para
, desde que
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica com
obtemos (válido quando
):
Aqui cada termo é explicado:
. A condição de validade
é equivalente a
.
Passo 5
Agora multiplicamos termo a termo por
(soma de séries geométricas permite multiplicar por fator polinomial):
Isto é uma série de potências centrada em
. Para ficar íntimo com os primeiros termos, escrevemos alguns:
Cada termo tem a forma
, ou seja potências ímpares a partir de
com sinais alternados.
Passo 6
Determinação do raio de convergência. Da aplicação direta da série geométrica temos a condição
, logo
Isso significa que o raio de convergência é
. Alternativamente, poderíamos usar o teste da razão sobre o termo geral
e chegar ao mesmo
.
Passo 7
Análise rápida nos endpoints
(para ver se a série converge na fronteira):
- Para
: a série vira , cujos termos não tendem a , portanto diverge. - Para
: a série vira , também composta por termos de módulo que não tendem a , logo diverge.
Conclusão: a série converge estritamente parae diverge em .
Passo 8
Resumo final do procedimento que você pode usar na prova: sempre que vir uma razão do tipo
ou
, tente reconhecer uma série geométrica substituindo
. Depois multiplique por qualquer fator polinomial na frente (aqui
). Verifique a condição
para obter o raio/intervalo de convergência e cheque os endpoints separadamente.