Explico por que: a série geométrica padrão é \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \dfrac{1}{1-r} para |r|<1. Aqui basta escolher r=-u para obter a fórmula acima.
Passo 4
Sabendo que \dfrac{d}{dt}\ln(1+t)=\dfrac{1}{1+t}, vou integrar a série da Passo 3 termo a termo de 0 até t. Antes, justificativa breve e intuitiva: a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-r,r] com r<1, então podemos integrar termo a termo nesses intervalos; isso fornece a igualdade da integral da soma com a soma das integrais para |t|<1.
o que é exatamente a forma desejada para \ln(1+t).
Passo 6
Volte à variável original x com t=x-1. Substituindo:
\ln x = \ln(1+(x-1)) = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k+1}\frac{(x-1)^{k}}{k}.
Isso dá a versão com os sinais alternados:
\ln x = x-1-\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^{3}}{3}-\frac{(x-1)^{4}}{4}+\cdots.
Passo 7
Discuta a região de validade (por que 0<x<2): a série para \ln(1+t) converge para |t|<1. Isso pode ser visto pela análise do termo geral a_k = \dfrac{t^k}{k}: pela regra da razão,
Logo o raio de convergência é 1, isto é, a série converge para |t|<1. Em termos de x isso é |x-1|<1, ou seja
0<x<2.
Observação extra (útil na prova): no ponto x=2 (ou t=1) a série é a série alternada \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{1}{k} que converge condicionalmente e seu somatório é \ln 2. Em x=0 (ou t=-1) a série também converge (alternada), mas \ln 0 é divergente, e de qualquer forma x=0 não pertence ao domínio de \ln x; por isso o intervalo natural de validade é 0<x<2.
Passo 8
Verificação rápida (checar constante): podemos também diferenciar a série termo a termo para obter
para |x-1|<1. Como ambas as funções têm a mesma derivada e coincidem em x=1 (ambas valem 0 em x=1), elas são iguais no intervalo de convergência. Isso confirma a igualdade obtida.
Resposta
\displaystyle \ln x=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k+1}\frac{(x-1)^{k}}{k}=x-1-\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^{3}}{3}-\cdots para 0<x<2